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Cálculo en Diversas Variables

Código: 107931
Créditos: 9
2026/2027
Titulación Tipo Curso
Matemáticas OB 2

Profesor/a de contacto

Nombre :
Juan Carlos Cantero Guardeño
Correo electrónico :
juancarlos.cantero@uab.cat

Equipo docente

Juan Eugenio Mateu Bennassar
Alberto Dayan

Equipo docente (externo a la UAB)

Odí Soler i Gibert

Idiomas de los grupos

Puede consultar esta información al final del documento.

Prerrequisitos

Para que el estudiante pueda cursar la asignatura con aprovechamiento, es muy importante que haya superado las asignaturas Funciones de Variable Real I y Funciones de Variable Real II de primer curso. Si este no es el caso, es imprescindible que, como mínimo, entienda profundamente las nociones de convergencia de sucesiones, así como las de continuidad, derivabilidad e integrabilidad de funciones.

También es muy importante que el estudiante tenga destreza en la manipulación de límites, reglas de diferenciación e integración, el teorema fundamental del cálculo, desarrollos de Taylor de funciones elementales, entre otros aspectos.

Para la segunda mitad del curso, es crucial que el estudiante esté familiarizado con las técnicas y el lenguaje de la teoría de conjuntos básica.

Objetivos

Los objetivos de la asignatura son conocer las técnicas básicas del cálculo diferencial en varias variables y de la medida e integral de Lebesgue, también en el caso multivariable. Más concretamente, en lo que respecta al cálculo diferencial:


  • La topología básica del espacio euclídeo n-dimensional.
  • El concepto de función de varias variables y de campo vectorial.
  • El concepto de diferencial de una función de varias variables, que generaliza el concepto de derivada, así como sus propiedades fundamentales.
  • El polinomio de Taylor en varias variables, que nos llevará al estudio de los puntos críticos de una función.
  • Los teoremas de la función implícita e inversa.
  • La optimización de funciones: los teoremas de Weierstrass y de los multiplicadores de Lagrange.


Y en lo que respecta al cálculo integral y la medida de Lebesgue:


  • La medida de Lebesgue en R^n.
  • La construcción de la integral de Lebesgue.
  • Los teoremas de la convergencia monótona y dominada, y el lema de Fatou.
  • Los teoremas de Fubini y del cambio de variable.
  • El teorema de diferenciación de Lebesgue.

Resultados de aprendizaje

  • CM16 (Construir demostraciones rigurosas de resultados de nivel medio en análisis matemático, cálculo en diversas variables y análisis complejo.) Construir demostraciones rigurosas de resultados de nivel medio en análisis matemático, cálculo en diversas variables y análisis complejo.
  • CM17 (Proponer soluciones analíticas de problemas de optimización relacionados con ámbitos no necesariamente matemáticos.) Proponer soluciones analíticas de problemas de optimización relacionados con ámbitos no necesariamente matemáticos.
  • KM25 (Identificar conceptos y resultados básicos del cálculo diferencial en varias variables reales (derivadas parciales, matriz hessiana, gradiente, etc.).) Identificar conceptos y resultados básicos del cálculo diferencial en varias variables reales (derivadas parciales, matriz hessiana, gradiente, etc.).
  • SM21 (Aplicar los teoremas de la función inversa y de la función implícita a problemas concretos.) Aplicar los teoremas de la función inversa y de la función implícita a problemas concretos.
  • SM22 (Relacionar entre sí los conceptos de convergencia uniforme, de continuidad, de derivabilidad o de integrabilidad de funciones de una o varias variables reales.) Relacionar entre sí los conceptos de convergencia uniforme, de continuidad, de derivabilidad o de integrabilidad de funciones de una o varias variables reales.

Contenidos

1) Cálculo diferencial de varias variables:

  • Nociones geométricas y topológicas básicas en el espacio euclídeo. Límites y continuidad. Gráficas y conjuntos de nivel.
  • Diferenciabilidad. Propiedades básicas. Derivadas parciales y derivadas direccionales. Extremos relativos.
  • Derivadas de orden superior. Fórmula de Taylor. Análisis de los puntos críticos: criterios de extremos relativos.
  • Teorema de la función inversa. Cambios de coordenadas.
  • Teorema de la función implícita. Interpretación geométrica, curvas y superficies.
  • Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange.


2) Integral de Lebesgue:

  • Limitaciones de la integral de Riemann.
  • Medida de Lebesgue.
  • Integral de Lebesgue. Teoremas de la convergencia monótona, de la convergencia dominada y lema de Fatou. Comparación con la integral de Riemann.
  • Teorema de Fubini.
  • Teorema del cambio de variable. Significado del jacobiano.
  • Espacios de Lebesgue Lp. Función maximal de Hardy-Littlewood. Teorema de diferenciación de Lebesgue.



Actividades formativas y Metodología

Título Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Resolución de problemas 93 3,72 CM17, KM25, SM21, SM22
Sesiones de teoría 45 1,8 CM16, KM25, SM21, SM22
Estudio de la teoría 43 1,72 CM16, SM21
Sesiones de problemas 14 0,56 CM17, KM25, SM21, SM22
Seminarios 16 0,64 CM17, KM25, SM21, SM22
Tutorías 6 0,24 CM16, KM25, SM21

La asignatura tiene tres horas de teoría semanales. Se impartirán de manera tradicional, con tiza y pizarra. En las clases de teoría se irán desgranando los conceptos y enunciando los resultados importantes del cálculo diferencial e integral en varias variables. Nos dedicaremos a demostrar los teoremas y a dar ejemplos de sus aplicaciones.


El alumnado recibirá unas listas de ejercicios y problemas sobre las que trabajaremos en la clase semanal de problemas. Previamente, durante su actividad no presencial, deberá haber leído y pensado los ejercicios y problemas propuestos. De este modo se podrá garantizar su participación en el aula y se facilitará la asimilación de los contenidos procedimentales. Habrá una sesión de problemas a la semana.


Se harán ocho sesiones de seminarios, de dos horas de duración cada una. El alumnado tendrá material previamente disponible en el Campus Virtual, que deberá haber estudiado. Los alumnos se pondrán a trabajar en una lista de actividades, planteando en todo momento las dudas que puedan surgir. Al final de algunas sesiones de seminario, que serán anunciadas previamente, se realizará una evaluación.


El recorrido esperado por parte del alumnado, y el que asegura un mejor rendimiento, es el siguiente:


(i) Lectura previa de los apuntes de teoría colgados en el Campus Virtual. Identificación de los conceptos que puedan resultar de mayor dificultad.


(ii) Asistencia a las sesiones teóricas correspondientes. Se espera una intervención activa del alumnado, planteando en todo momento cualquier duda que pueda surgir. Toda pregunta es bienvenida, y se anima a formularla, en las sesiones de teoría.


(iii) Lectura e intento de resolución de los problemas correspondientes. Se recomienda encarecidamente hacer, en un primer momento, un esfuerzo activo e individual de resolución de los problemas. En una segunda iteración, es una buena idea el trabajo en grupo en la resolución de problemas. Finalmente, una vez se hayan intentado resolver de manera individual y colectiva, se puede recurrir, aunque de ningún modo es imprescindible, a herramientas de Inteligencia Artificial que sirvan de ayuda. Conviene no alterar el orden de actuación y no empezar directamente con el uso de esta herramienta. De hecho, en esta asignatura se recomienda prescindir de herramientas de Inteligencia Artificial generativa, ya que los modelos actuales presentan una tendencia al asentimiento y a la confirmación de las hipótesis del usuario, lo que puede generar una falsa sensación de dominio de los contenidos.


(iv) Asistencia a las sesiones de problemas y seminarios correspondientes a este bloque. Se espera una intervención activa del alumnado, planteando en todo momento cualquier duda que pueda surgir. Toda pregunta es bienvenida, y se anima a formularla, en las sesiones de problemas y seminarios.


El Campus Virtual será el medio de comunicación entre profesorado y alumnado. Será importante consultarlo día a día.


El alumnado dispondrá de servicio de tutorías en el despacho. Se recomienda utilizar esta ayuda para el seguimiento del curso. Podéis contactar con el profesorado por correo electrónico para organizar una sesión de tutoría.


Nota: se reservarán 15 minutos de una clase, dentro del calendario establecido por el centro/titulación, para que el alumnado complete las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura.

Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.

Evaluación

Actividades de evaluación continuada

Título Peso Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Primer examen 45% 3 0,12 CM16, CM17, KM25, SM22
Segundo examen 45% 3 0,12 CM16, CM17, KM25, SM21, SM22
Seminarios 10% 2 0,08 CM16, CM17, KM25, SM22

Se realizará una evaluación continua consistente en un examen del primer parcial (P1) y dos seminarios evaluables (S1, S2) obligatorios. Las notas de los seminarios evaluables no son recuperables. Al final del curso habrá un examen del segundo parcial (P2) y un examen de recuperación (R).

La calificación se obtiene en dos pasos. Designamos por P1, P2, S, R, respectivamente, las calificaciones del primer parcial, del segundo parcial, la media de los seminarios S1, S2 y la del examen de recuperación, todas sobre 10.

Primera convocatoria. Si mín(P1, P2)<3.5, el estudiante debe ir a recuperación. En caso contrario, computamos la calificación en la primera convocatoria como

C1=0.45P1+0.45P2+0.1*S.

Si C1>=5, el estudiante ha superado la primera convocatoria y tiene la asignatura aprobada con nota final C1+V, donde V es una parte variable que se detallará a continuación.

Segunda convocatoria. Los estudiantes que no hayan superado la primera convocatoria, y los que quieran mejorar nota, podrán presentarse al examen de recuperación. La calificación C2 en la segunda convocatoria es

C2=min(7, 0.9R+0.1S)

y sustituye a C1. Si C2>=5, el estudiante ha superado la segunda convocatoria y tiene la asignatura aprobada con nota final C2+V.

Si C1<5 y el estudiante no se presenta al examen de recuperación, tendrá como nota final C1. Si C1<5 y C2<5, el estudiante tendrá como nota final C2.

La nota variable V puede variar entre 0 y 0.5 puntos. Dependerá principalmente de la participación en los foros del Campus Virtual, pero también puede ser complementada con la realización de trabajos y ejercicios extraordinarios. En ningún caso la nota variable será tenida en cuenta si la nota final C1 o C2 es menor que 5.

Observación 1: Si el profesorado lo considera conveniente, se podrán solicitar entrevistas con el alumnado para matizar las calificaciones.

Observación 2: Las posibles matrículas de honor serán otorgadas antes del examen de recuperación, ya que este examen no permite subir más de un 7.

Observación 3: El estudiante será considerado como “No evaluable” si no ha participado en ningún examen, es decir, si no tiene nota P1, P2 ni R.

El alumnado que se haya acogido a la modalidad de evaluación única deberá realizar una prueba final que consistirá en un examen oral de teoría, en el que deberá desarrollar un tema y responder a las interacciones del profesorado. Además, el día del examen final deberá realizar una prueba de problemas, en la que tendrá que resolver una serie de ejercicios similares a los que se hayan trabajado en las sesiones de Prácticas de Aula. El examen de teoría supondrá el 50% de la nota y el examen de problemas el 50%. Si la nota final no llega a 5, el estudiante tendrá otra oportunidad de superar la asignatura mediante el examen de recuperación, que tendrá la misma estructura. Se considerará “No evaluable” al alumnado de evaluación única que no haya participado en ninguno de estos dos exámenes.


Sin perjuicio de otras medidas disciplinarias que se consideren oportunas y de acuerdo con la normativa académica vigente, las irregularidades cometidas por un estudiante que puedan conducir a una variación de la calificación se calificarán con un cero (0).

Por ejemplo, plagiar, copiar, dejar copiar o tener dispositivos de comunicación —como teléfonos móviles, relojes inteligentes, etc.— durante una actividad de evaluación implicará suspender dicha actividad de evaluación con un cero (0).

Las actividades de evaluación calificadas de esta forma y mediante este procedimiento no serán recuperables. Si es necesario superar cualquiera de estas actividades de evaluación para aprobar la asignatura, dicha asignatura quedará suspendida directamente, sin posibilidad de recuperación en el mismo curso.

La nota numérica que constará en el expediente será el valor menor entre 3,0 y la media ponderada de las calificaciones en caso de que el estudiante haya cometido irregularidades en un acto de evaluación.


Esta guía docente ha sido traducida a partir de la versión original en catalán. En caso de discrepancia, diferencia de interpretación o contradicción entre esta traducción y la versión catalana, prevalecerá siempre la versión original en catalán.

Bibliografía

  • Apuntes de la asignatura en el Campus Virtual (en catalán). Contienen todo el material necesario relativo a los contenidos de la asignatura.
  • Functions of Several Variables, Martin Moskowitz y Fotios Paliogiannis, World Scientific, 2011. Es un libro que se adapta muy bien al contenido de la parte de cálculo diferencial y que seguiremos de cerca. Está disponible en la biblioteca online.
  • Analysis II, Terence Tao, Hindustan Book Agency, Texts and Readings in Mathematics 38, 2006. El autor ganó la medalla Fields en 2006, así que resulta interesante ver cómo presenta la materia. Hay dos capítulos sobre medida de Lebesgue, bastante concisos. Es un complemento para las personas más interesadas. El enfoque es bastante parecido al que seguiremos en la asignatura.
  • Juan Cerdà. Cálculo Integral. Manuals de la UB.

Software

Nada.

Grupos e idiomas de la asignatura

La información proporcionada es provisional hasta el 30 de noviembre. A partir de esta fecha, podrá consultar el idioma de cada grupo a través de este enlace. Para acceder a la información, será necesario introducir el CÓDIGO de la asignatura

Tipo de docencia Grupo Idioma Semestre Turno
(TE) Teoría 1 Catalán segundo cuatrimestre manaña-mixto
(PAUL) Prácticas de aula 1 Catalán segundo cuatrimestre manaña-mixto
(SEM) Seminarios 1 Español segundo cuatrimestre manaña-mixto
(PAUL) Prácticas de aula 2 Catalán segundo cuatrimestre manaña-mixto
(SEM) Seminarios 2 Español segundo cuatrimestre manaña-mixto
(SEM) Seminarios 3 Español segundo cuatrimestre manaña-mixto