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Ecuaciones en derivadas parciales: Modelización, Análisis y Aproximación Numérica
Código: 45561Créditos: 6
| Titulación | Tipo | Curso |
|---|---|---|
| Modelling for Science and Engineering | OP | 1 |
Profesor/a de contacto
- Nombre :
- Jozsef Zoltan Farkas
- Correo electrónico :
- jozsefzoltan.farkas@uab.cat
Equipo docente
- Susana Serna Salichs
Idiomas de los grupos
Puede consultar esta información al final del documento.
Prerrequisitos
Los estudiantes deben tener conocimientos básicos de cálculo, algebra y ecuaciones diferenciales ordinarias, así como habilidades básicas en programación.
Objetivos
Muchos fenómenos que se desarrollan en el espacio y/o el tiempo se pueden modelar mediante ecuaciones en derivadas parciales. El propósito de este curso es proporcionar los conceptos principales sobre dichos modelos, así como los métodos numéricos para calcular su solución.
Resultados de aprendizaje
- CA18 (Implementar computacionalmente técnicas de análisis numérico para la resolución aproximada de las ecuaciones en derivadas parciales) Implementar computacionalmente técnicas de análisis numérico para la resolución aproximada de las ecuaciones en derivadas parciales
- CA19 (Integrar las ecuaciones en derivadas parciales en el seno de otras herramientas de modelización en el contexto de proyectos multidisciplinarios) Integrar las ecuaciones en derivadas parciales en el seno de otras herramientas de modelización en el contexto de proyectos multidisciplinarios
- CA20 (Incorporar, mediante ecuaciones en derivadas parciales, criterios de sostenibilidad y/o eficiencia ambiental en proyectos de modelización matemática.) Incorporar, mediante ecuaciones en derivadas parciales, criterios de sostenibilidad y/o eficiencia ambiental en proyectos de modelización matemática.
- KA15 (Identificar los métodos de análisis matemático propios de las ecuaciones en derivadas parciales) Identificar los métodos de análisis matemático propios de las ecuaciones en derivadas parciales
- KA16 (Reconocer el papel y la utilidad que juegan las ecuaciones en derivadas parciales en la construcción de modelos matemáticos) Reconocer el papel y la utilidad que juegan las ecuaciones en derivadas parciales en la construcción de modelos matemáticos
- SA18 (Aplicar modelos basados en ecuaciones en derivadas parciales en la resolución de problemas concretos) Aplicar modelos basados en ecuaciones en derivadas parciales en la resolución de problemas concretos
- SA19 (Interpretar el significado y fenomenología asociados a los parámetros presentes en las ecuaciones en derivadas parciales, de cara a describir procesos concretos) Interpretar el significado y fenomenología asociados a los parámetros presentes en las ecuaciones en derivadas parciales, de cara a describir procesos concretos
- SA20 (Interpretar los resultados obtenidos al aplicar un modelo formalizado con ecuaciones en derivadas parciales) Interpretar los resultados obtenidos al aplicar un modelo formalizado con ecuaciones en derivadas parciales
Contenidos
PARTE I: MODELOS DE EDP Y SUS PRINCIPALES PROPIEDADES
I.0. Introducción.
I.1. La ecuación del calor. Series de Fourier, funciones ortogonales, espacios con producto interno, etc. Condiciones de contorno de Dirichlet, Neumann y Robin. Condiciones de contorno de Wentzell (o dinámicas) en física y biología.
I.2. La ecuación de onda.
I.3. La ecuación de Laplace en diversos sistemas de coordenadas (incluidos el euclidiano, el polar y el esférico), funciones especiales, soluciones en serie mediante funciones especiales, etc. Funciones armónicas, principio del máximo. Funcionales de energía, etc.
I.4. La ecuación de Poison con diversas condiciones de contorno. Problemas de valores propios, etc.
I.5. Introducción a los semigrupos de operadores. Resultados básicos.
I.6. Modelos de EDP de dinámica de poblaciones estructuradas.
I.7. Métodos de semigrupos de operadores para analizar el comportamiento cualitativo de modelos de poblaciones estructuradas. Positividad, disipatividad, irreducibilidad, crecimiento exponencial asíncrono. Estabilidad lineal. Diversas definiciones de compacidad. Teorema de mapeo espectral, etc.
PARTE II: MÉTODOS NUMÉRICOS
II.1. Métodos de diferencias finitas para ecuaciones parabólicas escalares: Métodos explícitos de Euler, implícitos de Euler y de Crank-Nicholson: Prueba de estabilidad de Von Neumann. Estabilidad parabólica. Condición de Courant-Friedrichs-Lewy. Ejemplos.
II.2. Métodos numéricos para ecuaciones elípticas.
II.3. Métodos numéricos para leyes de conservación escalares: Métodos de diferencias finitas en forma de conservación. Esquemas de captura de discontinuidades. Esquemas monótonos: Esquemas de Lax-Friedrichs y de diferencias finitas centradas. Condiciones de convergencia y estabilidad. Esquemas que satisfacen la entropía. Ejemplos.
Actividades formativas y Metodología
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Estudios y trabajos prácticos por parte del alumno | 96 | 3,84 | CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20 |
| Classes de teoría y problemas | 30 | 1,2 | CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20 |
| Clases de prácticas | 8 | 0,32 | CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20 |
El objetivo de las clases de teoría, problemas y prácticas es dar a los alumnos los conocimientos más básicos sobre las ecuaciones en derivadas parciales y sus aplicaciones.
Evaluación
Actividades de evaluación continuada
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Solución de un problema con ordinador | 40% | 8 | 0,32 | CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20 |
| Primer examen parcial | 30% | 4 | 0,16 | CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20 |
| Segundo examen parcial | 30% | 4 | 0,16 | CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20 |
La evaluación consistirá en dos exámenes parciales y en la entrega de la resolución de un problema mediante el ordenador.
«La realización de cualquier irregularidad en un acto de evaluación (fraude académico, plagio o uso indebido de la IA, salvo que este uso esté autorizado expresamente a la guía docente), que pueda conducir a una variación significativa de la calificación, supone que este acto se calificará con un 0. En caso de que la guía docente prevea que para superar la asignatura sea requisito produzcan diversas irregularidades en los actos de evaluación de una misma asignatura, la calificación final de esta asignatura es 0. Al margen de ello, se podrá instruir un proceso disciplinario al estudiante que incurra en alguna de estas irregularidades.»
Bibliografía
Bibliografía
L.C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics 19 (2nd ed.), Providence, R.I., American Mathematical Society, (2010).
B. Gustafson, H-O. Kreiss and J. Oliger, Time dependent problems and Difference Methods, Wiley-Intersciences, (1996).
F. John, Partial Differential equations, vol. 1, Applied Math Sciences, Springer, (1978).
P.D. Lax, Hyperbolic systems of Conservation Laws and The Mathematical Theory of Shock Waves SIAM, 1973.
R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2002.
Y.Pinchover, J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge 2005.
S. Salsa, Partial differential equations in action : from modelling to theory Springer, 2008.
G. Strang, Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge Press, (1986).
E.F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A practical Introduction, Springer-Verlag, 2009.
G.B. Whitham Linear and nonlinear Waves, Wiley-Intersciences, (1999).
Software
Dejamos total libertad a los alumnos para que elijan el lenguaje que mas les convenga para resolver los ejercicios de esta asignatura.
Grupos e idiomas de la asignatura
La información proporcionada es provisional hasta el 30 de noviembre. A partir de esta fecha, podrá consultar el idioma de cada grupo a través de este enlace. Para acceder a la información, será necesario introducir el CÓDIGO de la asignatura
| Tipo de docencia | Grupo | Idioma | Semestre | Turno |
|---|---|---|---|---|
| (TEm) Teoría (máster) | 1 | Inglés | segundo cuatrimestre | tarde |