Guia en format PDF

Avís important

La guia docent és provisional.

La versió en PDF de la guia docent pot tardar uns dies en estar disponible al DDD.

Equacions en derivades parcials: Modelització, Anàlisi i Aproximació Numèrica

Codi: 45561
Crèdits: 6

2026/2027

Titulació	Tipus	Curs
Modelling for Science and Engineering	OP	1

Professor/a de contacte

Nom :: Jozsef Zoltan Farkas
Correu electrònic :: jozsefzoltan.farkas@uab.cat

Equip docent

: Susana Serna Salichs

Idiomes dels grups

Podeu consultar aquesta informació al final del document.

Prerequisits

Els estudiants haurien de tenir coneixements bàsics de càlcul, àlgebra i equacions diferencials ordinàries, així com habilitats bàsiques de programació

Objectius

Molts fenòmens que es desenvolupen en l'espai i/o el temps es poden modelar mitjançant equacions en derivades parcials. L'objectiu d'aquest curs és proporcionar els conceptes principals sobre aquests models, així com els mètodes numèrics per calcular la seva solució.

Resultats d'aprenentatge

CA18 (Implementar computacionalment tècniques d’anàlisi numèrica per a la resolució aproximada de les equacions en derivades parcials.) Implementar computacionalment tècniques d’anàlisi numèrica per a la resolució aproximada de les equacions en derivades parcials.
CA19 (Integrar les equacions en derivades parcials en el si d’altres eines de modelització en el context de projectes multidisciplinaris.) Integrar les equacions en derivades parcials en el si d’altres eines de modelització en el context de projectes multidisciplinaris.
CA20 (Incorporar, mitjançant equacions en derivades parcials, criteris de sostenibilitat i eficiència ambiental en projectes de modelització matemàtica.) Incorporar, mitjançant equacions en derivades parcials, criteris de sostenibilitat i eficiència ambiental en projectes de modelització matemàtica.
KA15 (Identificar els mètodes d’anàlisi matemàtica propis de les equacions en derivades parcials.) Identificar els mètodes d’anàlisi matemàtica propis de les equacions en derivades parcials.
KA16 (Reconèixer el paper i la utilitat que tenen les equacions en derivades parcials en la construcció de models matemàtics.) Reconèixer el paper i la utilitat que tenen les equacions en derivades parcials en la construcció de models matemàtics.
SA18 (Aplicar models basats en equacions en derivades parcials en la resolució de problemes concrets.) Aplicar models basats en equacions en derivades parcials en la resolució de problemes concrets.
SA19 (Interpretar el significat i fenomenologia associats als paràmetres presents en les equacions en derivades parcials per tal de descriure processos concrets.) Interpretar el significat i fenomenologia associats als paràmetres presents en les equacions en derivades parcials per tal de descriure processos concrets.
SA20 (Interpretar els resultats obtinguts en aplicar un model formalitzat amb equacions en derivades parcials.) Interpretar els resultats obtinguts en aplicar un model formalitzat amb equacions en derivades parcials.

Continguts

PART I: MODELS D'EDP I LES SEVES PRINCIPALS PROPIETATS

I.0. Introducció.

I.1. L'equació de la calor. Sèries de Fourier, funcions ortogonals, espais de producte intern, etc. Condicions de contorn de Dirichlet, Neumann, Robin. Condicions de contorn de Wentzell (o dinàmiques) en física i biologia.

I.2. L'equació d'ona.

I.3. L'equació de Laplace en diversos sistemes de coordenades (inclosos l'euclidià, el polar, l'esfèric), funcions especials, solucions en sèrie utilitzant funcions especials, etc. Funcions harmòniques, principi del màxim. Funcionals d'energia, etc.

I.4. L'equació de Poison amb diverses condicions de contorn. Problemes de valors propis, etc.

I.5. Introducció als semigrups d'operadors. Resultats bàsics.

I.6. Models d'EDP de dinàmica de poblacions estructurades

I.7. Mètodes de semigrups d'operadors per analitzar el comportament qualitatiu dels models de població estructurada. Positivitat, dissipativitat, irreductibilitat, creixement exponencial asíncron. Estabilitat lineal. Diverses definicions de compacitat. Teorema de la correspondència espectral, etc.

PART II: MÈTODES NUMÈRICS

II.1. Mètodes de diferències finites per a equacions parabòliques escalars: mètodes d'Euler explícit, d'Euler implícit i de Crank-Nicholson: prova d'estabilitat de Von Neumann. Condició de Courant-Friedrichs-Lewy per a l'estabilitat parabòlica. Exemples.

II.2. Mètodes numèrics per a equacions el·líptiques.

II.3. Mètodes numèrics per a lleis de conservació escalars: mètodes de diferències finites en forma de conservació. Esquemes de captura de xocs. Esquemes monòtons: esquemes de Lax-Friedrichs i contra el vent. Condicions de convergència i estabilitat. Esquemes que satisfan l'entropia. Exemples.

Activitats formatives i Metodologia

Títol	Hores	ECTS	Resultats d'aprenentatge
Estudis i treballs pràctics per part de l'alumne	96	3,84	CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20
Classes de teoria i problemes	30	1,2	CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20
Classes de pràctiques	8	0,32	CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20

L'objectiu de les classes de teoria, problemes i pràctiques es donar als alumnes els coneixements mes bàsics de les equacions en derivades parcials i les seves aplicacions.

Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, per a la complementació per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura/mòdul.

Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, perquè l'alumnat completi les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura.

Avaluació

Activitats d'avaluació continuada

Títol	Pes	Hores	ECTS	Resultats d'aprenentatge
Solució de un problema amb ordinador	40%	8	0,32	CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20
Primer examen parcial	30%	4	0,16	CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20
Segon examen parcial	30%	4	0,16	CA18, CA19, CA20, KA15, KA16, SA18, SA19, SA20

L´avaluació consistirà en dos exàmens parcials i en el lliurament de la resolució d´un problema mitjançant l´ordinador.

La realització de qualsevol irregularitat en un acte d’avaluació (frau acadèmic, plagi o ús indegut de la IA, tret que aquest ús estigui autoritzat expressament a la guia docent), que pugui conduir a una variació significativa de la qualificació, suposa que aquest acte es qualificarà amb un 0. En cas que la guia docent prevegi que per superar l’assignatura sigui requisit imprescindible haver obtingut una nota mínima en aquest acte d’avaluació o que es produeixin diverses irregularitats en els actes d’avaluació d’una mateixa assignatura, la qualificació final d’aquesta assignatura és 0. Al marge d’això, es podrà instruir un procés disciplinari a l’estudiant que incorri en alguna d’aquestes irregularitats.

Bibliografia

L.C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics 19 (2nd ed.), Providence, R.I., American Mathematical Society, (2010).

B. Gustafson, H-O. Kreiss and J. Oliger, Time dependent problems and Difference Methods, Wiley-Intersciences, (1996).

F. John, Partial Differential equations, vol. 1, Applied Math Sciences, Springer, (1978).

P.D. Lax, Hyperbolic systems of Conservation Laws and The Mathematical Theory of Shock Waves SIAM, 1973.

R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2002.

Y.Pinchover, J. Rubinstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge 2005.

S. Salsa, Partial differential equations in action : from modelling to theory Springer, 2008.

G. Strang, Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge Press, (1986).

E.F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A practical Introduction, Springer-Verlag, 2009.

G.B. Whitham Linear and nonlinear Waves, Wiley-Intersciences, (1999).

Programari

Deixem plena llibertat als alumnes per que utilitzin el llenguatge que els hi vagi millor per a fer els exercicis numèrics d'aquesta assignatura.

Grups i idiomes de l'assignatura

La informació proporcionada és provisional fins al 30 de novembre. A partir d'aquesta data, podreu consultar l'idioma de cada grup a través d'aquest enllaç. Per accedir a la informació, caldrà introduir el CODI de l'assignatura

Tipus de docència	Grup	Idioma	Semestre	Torn
(TEm) Teoria (màster)	1	Anglès	segon quadrimestre	tarda