Logo

Funcions de Variable Real I

Codi: 107840
Crèdits: 6
2026/2027
Titulació Tipus Curs
Matemàtiques FB 1

Professor/a de contacte

Nom :
Laura Prat Baiget
Correu electrònic :
laura.prat@uab.cat

Equip docent

Juan Eugenio Mateu Bennassar

Idiomes dels grups

Podeu consultar aquesta informació al final del document.

Prerequisits

Per tal que un alumne pugui seguir l'assignatura amb normalitat és imprescindible que tingui una certa destresa en la manipulació algebraica de fraccions, expressions que continguin arrels i potències, resolució de sistemes lineals i aritmètica bàsica de nombres i polinomis. També és molt aconsellable que l'estudiant tingui coneixements de trigonometria. Pressuposem també que la persona que cursa aquesta assignatura està familiaritzada amb raonaments de tipus lògic i que sap negar frases o proposicions

El requisit més important és, però, una gran curiositat per entendre i aprofundir en els conceptes que s'estudiaran.

Objectius

A nivell de coneixements, l'objectiu de l'assignatura és que l'estudiant aprengui sòlidament els conceptes bàsics del Càlcul Infinitesimal: les funcions de variable discreta (successions) o contínua, el concepte de límit de successions i de funcions d'una variable real i la continuïtat. A nivell de competències, també és un objectiu bàsic assolir una certa destresa en la manipulació i càlcul de límits, i saber aplicar els teoremes fonamentals d'aquesta teoria. Finalment, hi ha també un objectiu formatiu de caràcter genèric: que l'alumne comenci a desenvolupar la capacitat d'anàlisi i de raonar rigorosament.

Resultats d'aprenentatge

  • CM01 (Redactar de manera ordenada i amb precisió demostracions elementals de l’àmbit de l’àlgebra i de l’anàlisi en una variable.) Redactar de manera ordenada i amb precisió demostracions elementals de l’àmbit de l’àlgebra i de l’anàlisi en una variable.
  • CM02 (Desenvolupar estratègies autònomes per a la resolució de problemes matemàtics bàsics.) Desenvolupar estratègies autònomes per a la resolució de problemes matemàtics bàsics.
  • KM01 (Identificar els conceptes bàsics de l’àlgebra lineal i de l’anàlisi en una variable.) Identificar els conceptes bàsics de l’àlgebra lineal i de l’anàlisi en una variable.
  • KM03 (Relacionar les propietats visuals de la gràfica d’una funció en una variable real amb les seves propietats analítiques.) Relacionar les propietats visuals de la gràfica d’una funció en una variable real amb les seves propietats analítiques.
  • SM01 (Aplicar les regles de l’àlgebra i de l’anàlisi en una variable en la classificació d’aplicacions segons diversos criteris (rang, determinant, formes de Jordan, existència de màxims i mínims, asímptotes).) Aplicar les regles de l’àlgebra i de l’anàlisi en una variable en la classificació d’aplicacions segons diversos criteris (rang, determinant, formes de Jordan, existència de màxims i mínims, asímptotes).
  • SM02 (Aplicar els conceptes bàsics de l’àlgebra lineal i de l’anàlisi en una variable per resoldre problemes matemàtics.) Aplicar els conceptes bàsics de l’àlgebra lineal i de l’anàlisi en una variable per resoldre problemes matemàtics.
  • SM03 (Relacionar els conceptes de l’àlgebra lineal amb els conceptes de l’anàlisi en una variable (linealitat dels operadors diferencials i integrals o continuïtat de les operacions matricials, etc.).) Relacionar els conceptes de l’àlgebra lineal amb els conceptes de l’anàlisi en una variable (linealitat dels operadors diferencials i integrals o continuïtat de les operacions matricials, etc.).

Continguts

El programa de l'assignatura està organitzat en tres capítols:


I. La recta real.



  • Els números racionals i la seva incompletitud.

  • Suprem i ínfim d'un conjunt.

  • El concepte de nombre real. Axiomàtica. Expressió decimal.

  • Operacions i desigualtats entre números real.

  • Els nombres reals transcendents Π i e


II. Successions de números reals.



  • Funcions reals de variable discreta o contínua

  • Límit d'una successió. Propietats algebraiques.

  • Successions monòtones.

  • Punts d'acumulació.Successions parcials.

  • El Teorema de Bolzano-Weierstrass.

  • Successions de Cauchy i reenunciat de l'axioma de completitud.

  • Càlcul de límits.


III. Continuïtat de funcions.



  • Funcions de variable real. Domini d'una funció.

  • Funcions polinòmiques, racionals, exponencials i trigonomètriques vs funcions experimentals.

  • Límit d'una funció en un punt, límits laterals. Propietats bàsiques dels límits. Asímptotes.

  • Continuïtat d'una funció.

  • Teorema de Bolzano, localització d'arrels.

  • Teorema dels valors intermedis i Teorema de Weierstrass.

  • Funcions monòtones. Funcions inverses.

Activitats formatives i Metodologia

Títol Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
activitats tutoritzades 11 0,44 CM01, CM02, KM01, KM03, SM01, SM02, SM03
classes de problemes 15 0,6 CM01, CM02, KM01, KM03, SM01, SM02, SM03
Classes de teoria 29 1,16 CM01, CM02, KM01, KM03, SM01, SM02, SM03
estudi de teoriade l'assignatura 25 1 CM01, CM02, KM01, KM03, SM01, SM02, SM03
Preparació d'exàmens 11 0,44 CM01, CM02, KM01, KM03, SM01, SM02, SM03
realització de problemes 50 2 CM01, CM02, KM01, KM03, SM01, SM02, SM03

L'assignatura disposa de dos grup de teoria, dos grups de problemes i quatre grups de seminari-pràctiques.

Es duran a terme dues sessions setmanals d'una hora de teoria i una sessió de problemes.

Els seminaris es destinaran al treball en grup tutoritzat.

Els horaris i aules hauran de consultar-se a la web de la titulació.

Al Moodle de l'assignatura, l'estudiant tindrà a la seva disposició el material necessari per seguir totes les sessions. Allà podran trobar-se, apunts, llistes de problemes, observacions que faci el professorat o les notícies que puguin ser rellevants per al desenvolupament de l'assignatura i, eventualment, altres materials que siguin d'interès per a l'alumnat.

Classes de teoria. El professor anirà desenvolupant els temes del programa en l'ordre indicat. És bàsic que l'estudiant treballi regularment, utilitzant els llibres de text que s'indiquen a la bibliografia o els apunts de classe. A vegades el professor deixarà a càrrec de l'alumne completar les demostracions d'alguns resultats, feina que s'haurà de fer individualment amb l'ajut dels llibres de text i utilitzant les hores de tutoria.

Classes de problemes. Es distribuiran tres llistes de problemes cada quadrimestre que, com s'ha dit abans, estaran disponibles al Moodle. A la classe de problemes els professors resoldran o donaran indicacions sobre alguns dels problemes de les llistes a la pissarra, però no tots, per això és essencial que l'alumne realitzi un treball individual amb regularitat a partir de les llistes. Pensar-se els problemes, encara que no surtin, i dedicar-hi temps és essencial per poder enfrontar-se a aquesta assignatura amb garanties.

Seminaris. Els seminaris són activitats de treball en grup sota la supervisió d'un professor tutor. Cada sessió seguirà un guió que es distribuirà també a la classe. Dels quatre seminaris del curs, mínim un d'ells incorporarà una activitat avaluable. Les dates dels seminaris avaluables s'anunciaran al Moodle amb antelació suficient. Per tal de mantenir l'equilibri entre grups, és important que els alumnes vagin al grup de problemes i seminaris que els hagi estat assignat. Només s'admetran canvis en situacions excepcionals o justificades.

Finalment, es recorda que els alumnes disposaran d'unes hores de tutoria al despatx del professorat de teoria, de problemes i de seminaris, on podran consultar dubtes i demanar tota mena d'ajut en el seu treball. L'horari de tutories del professorat serà anunciat al Moodle.

Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, per a la complementació per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura/mòdul.

Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, perquè l'alumnat completi les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura.

Avaluació

Activitats d'avaluació continuada

Títol Pes Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
examen 2 45 2 0,08 CM01, CM02, KM01, KM03, SM01, SM02, SM03
examen 1 40 2 0,08 CM01, CM02, KM01, KM03, SM01, SM02, SM03
altres activitats avaluació continuada 15 5 0,2 CM01, CM02, KM01, KM03, SM01, SM02, SM03
  • Hi haurà un primer parcial, que proporcionarà una qualificació P1.
  • Algunes sessions de seminaris seran avaluables. D'aquestes proves s'obtindrà una qualificació S.
  • Hi haurà una prova parcial al final del quadrimestre amb qualificació P2.


A partir d'aquestes activitats s'obtindrà una nota d'avaluació Final, donada per


Final = 0,4 P1 + 0,15 S + 0,45 P2


Si la nota Final és superior o igual a 5, l'alumne ha superat l'assignatura. L'alumnat que no hagi superat l'assignatura podrà presentar-se a una prova final de recuperació on podrà recuperar el 85% de la nota.

Avaluació única.

L'alumnat que ho hagi sol·licitat podrà acollir-se a la modalitat d'avaluació única (mireu la web de la Facultat). L'avaluació única suposa la renúncia irrevocable al dret a l'avaluació continuada.

Si us acolliu a aquesta modalitat d'avaluació, haureu de realitzar (en la data de l'últim parcial) tres proves: una prova oral de teoria, una prova escrita de problemes i una prova escrita corresponent als continguts dels seminaris. El pes corresponent a cada part és d'un 25% la part de teoria, un 60% la de problemes i un 15% la de seminaris.

En cas de no superar l'assignatura, es podrà optar a l'examen de recuperació en els mateixos termes que la resta de l'alumnat.


La realització de qualsevol irregularitat en un acte d’avaluació (frau acadèmic, plagi o ús indegut de la IA, tret que aquest ús estigui autoritzat expressament a la guia docent), que pugui conduir a una variació significativa de la qualificació, suposa que aquest acte es qualificarà amb un 0. En cas que la guia docent prevegi que per superar l’assignatura sigui requisit imprescindible haver obtingut una nota mínima en aquest acte d’avaluació o que es produeixin diverses irregularitats en els actes d’avaluació d’una mateixa assignatura, la qualificació final d’aquesta assignatura és 0. Al marge d’això, es podrà instruir un procés disciplinari a l’estudiant que incorri en alguna d’aquestes irregularitats.


Bibliografia

. Hardy, G. H. A course of pure mathematics. Reprint of the (1952) tenth edition. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

Un clàssic de veritat. Una mica antiquat en la notació i en alguns conceptes, però és la visió d'un matemàtic important.

  • R. Larson, R. P. Hostetler, B. Edwards. Cálculo I. Ediciones Pirámide. 2002.

Un llibre amb un enfocament més pràctic. Conté nombrosos exemples, aplicacions i problemes.

  • J. M. Ortega. Introducció a l'Anàlisi Matemàtica. Manuals de la Universitat Autònoma de Barcelona 4, Bellaterra 1990.

El nostre curs consisteix en els cinc primers capítols d'aquest llibre. Aquest text serà d'utilitat en alguns aspectes del curs com a complement de la referència bàsica.

  • W. Rudin. Principios de Análisis Matemático. Ed. McGraw-Hill. 1980.

Llibre de contingut més avançat que serà útil també en cursos posteriors. Molt bona selecció de problemes.

  • R. Courant, H. Robbins. ¿Qué es la matemática? Aguilar, 1979.

Segons una autoritat acadèmica actual: \"Un clásico. Un libro de contenido más general que proporciona una magnífica visión global de la matemática.\"

  • G. Flory. Ejercicios de topología y de análisis. Tomos 1, 2. Ed. Reverté, 1983.

Bons llibres de problemes de tipus més conceptual. Las parts que corresponen a aquest curs sónel capítol 1 del volum 1 i els capítols 5, 6, 7 del volum 2. Es tracta de llibres que seran útils també en cursos posteriors.

  • B.P. Demidovich. 5000 problemas de Análisis Matemático. Paraninfo. 2000.

Llibre amb una completa selecció de problemes pràctics. Molt adient per exercitar conceptes i afiançar destresa de càlcul.

Programari

No està previst l'ús de cap software ni d'altres recursos informàtics

Grups i idiomes de l'assignatura

La informació proporcionada és provisional fins al 30 de novembre. A partir d'aquesta data, podreu consultar l'idioma de cada grup a través d'aquest enllaç. Per accedir a la informació, caldrà introduir el CODI de l'assignatura

Tipus de docència Grup Idioma Semestre Torn
(TE) Teoria 1 Català primer quadrimestre matí-mixt
(PAUL) Pràctiques d'aula 1 Català primer quadrimestre matí-mixt
(SEM) Seminaris 1 Català primer quadrimestre matí-mixt
(TE) Teoria 2 Català primer quadrimestre matí-mixt
(PAUL) Pràctiques d'aula 2 Català primer quadrimestre matí-mixt
(SEM) Seminaris 2 Català primer quadrimestre matí-mixt
(SEM) Seminaris 3 Català primer quadrimestre matí-mixt
(SEM) Seminaris 4 Català primer quadrimestre matí-mixt