Transformadas Integrales y Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
Código: 107622Créditos: 6
| Titulación | Tipo | Curso |
|---|---|---|
| Física | OB | 2 |
Profesor/a de contacto
- Nombre :
- Carles Sanchez Alonso
- Correo electrónico :
- carles.sanchez@uab.cat
Equipo docente
- Emili Bagan Capella
Idiomas de los grupos
Puede consultar esta información al final del documento.
Prerrequisitos
Se recomienda tener un buen conocimiento de cálculo en una y varias variables, de álgebra lineal básica y de la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de orden superior con coeficientes constantes.
Objetivos
Proporcionar las herramientas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales que aparecen en Física mediante series de Fourier, transformadas integrales, series de potencias, funciones especiales y teoría de Sturm–Liouville. Enseñar a aplicar estos métodos a problemas con condiciones iniciales y de contorno y a la modelización de distintos fenómenos físicos. Poner de manifiesto que las transformadas integrales constituyen también una herramienta fundamental para el análisis de funciones, señales y sistemas físicos, más allá de la resolución de ecuaciones diferenciales.
Resultados de aprendizaje
- CM23 (Adaptar la estrategia matemática avanzada al abordar un problema complejo determinado desde el punto de vista analítico.) Adaptar la estrategia matemática avanzada al abordar un problema complejo determinado desde el punto de vista analítico.
- KM22 (Identificar los conceptos avanzados de espacio vectorial y de subespacio, de forma bilineal y de producto escalar y tensorial, y la metodología de la diagonalización de endomorfismos.) Identificar los conceptos avanzados de espacio vectorial y de subespacio, de forma bilineal y de producto escalar y tensorial, y la metodología de la diagonalización de endomorfismos.
- KM23 (Describir los conceptos básicos del cálculo y análisis y los diferentes métodos de resolución de ecuaciones diferenciales en sus diferentes tipologías.) Describir los conceptos básicos del cálculo y análisis y los diferentes métodos de resolución de ecuaciones diferenciales en sus diferentes tipologías.
- SM19 (Aplicar los conocimientos adquiridos de matemática avanzada a la resolución de problemas matemáticos, a la vez que a problemas físicos con representación matemática.) Aplicar los conocimientos adquiridos de matemática avanzada a la resolución de problemas matemáticos, a la vez que a problemas físicos con representación matemática.
Contenidos
1. Series de Fourier
- Producto escalar, norma y ortogonalidad.
- Sistemas ortogonales de funciones.
- Desarrollo en series de Fourier.
- Convergencia, identidad de Parseval y fenómeno de Gibbs.
- Aplicaciones a la física.
2. Transformada de Fourier
- Paso al límite de las series de Fourier en un intervalo infinito.
- Definición de la transformada de Fourier y de la transformada inversa.
- Propiedades básicas.
- Convolución.
- Derivación y traslación.
- Delta de Dirac.
- Aplicaciones a la resolución de ecuaciones diferenciales y problemas físicos.
3. Transformada de Laplace
- Definición y propiedades básicas.
- Transformada inversa.
- Aplicaciones a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.
- Aplicaciones a la física.
4. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias
- Puntos ordinarios y puntos singulares regulares.
- Soluciones en serie.
- Método de Frobenius aplicado a ecuaciones diferenciales de segundo orden.
5. Funciones especiales y polinomios ortogonales
- Ecuaciones de Legendre y de Bessel.
- Polinomios de Legendre y funciones de Bessel.
- Fórmulas de Rodrigues.
- Relaciones de recurrencia básicas.
- Ortogonalidad y normalización.
- Aplicaciones a la física.
6. Teoría de Sturm-Liouville
- Operadores autoadjuntos.
- Problemas regulares y singulares de valores propios.
- Valores propios y funciones propias.
- Ortogonalidad.
- Desarrollo en funciones propias.
- Conexión con las series de Fourier.
- Aplicaciones a la física.
7. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
- Clasificación elemental de las EDP.
- Ecuaciones de ondas, de Laplace y del calor.
- Separación de variables.
- Resolución de problemas en geometrías cartesianas, cilíndricas y esféricas.
Actividades formativas y Metodología
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Seminarios | 8 | 0,32 | CM23, KM22, KM23, SM19 |
| Estudio de los conceptos teóricos y de los métodos | 54 | 2,16 | CM23, KM22, KM23, SM19 |
| Clases teóricas | 28 | 1,12 | CM23, KM22, KM23, SM19 |
| Resolución de problemas | 27 | 1,08 | CM23, KM22, KM23, SM19 |
| Clases de problemas | 14 | 0,56 | CM23, KM22, KM23, SM19 |
Este curso consta de clases teóricas, clases de problemas y seminarios:
Clases teóricas: Se presentan las definiciones, los resultados teóricos y los métodos de resolución propios de la asignatura, ilustrándolos con ejemplos de aplicación a problemas matemáticos y físicos.
Clases de problemas: Se resuelven y discuten problemas relacionados con los contenidos de la asignatura, con el objetivo de aplicar las técnicas introducidas en las clases teóricas.
Seminarios: El alumnado resuelve problemas en el aula, de forma individual o en pequeños grupos, bajo la supervisión de un/a profesor/a.
Evaluación
Actividades de evaluación continuada
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Examen de recuperación | 90% | 5 | 0,2 | CM23, KM22, KM23, SM19 |
| Seminarios / entregas de problemas | 10% | 8 | 0,32 | CM23, KM22, KM23, SM19 |
| Segundo examen parcial | 45% | 3 | 0,12 | CM23, KM22, KM23, SM19 |
| Primer examen parcial | 45% | 3 | 0,12 | CM23, KM22, KM23, SM19 |
Evaluación continua
En cada uno de los dos bloques de la asignatura, j = 1, 2, las actividades realizadas durante los seminarios tendrán una calificación S_j, puntuada sobre 10. El examen parcial correspondiente tendrá una calificación E_j, también puntuada sobre 10. La calificación de cada bloque, N_j, se calculará según la fórmula:
N_j = S_j/10 + (9/10) E_j
Es decir, la calificación de cada bloque será la media ponderada del examen parcial (90%) y de la actividad de seminario correspondiente (10%).
La calificación final de la evaluación continua se calculará como la media geométrica de las calificaciones de los dos bloques:
N = sqrt(N_1 N_2)
Si esta calificación es igual o superior a 5,0, el alumnado habrá superado la asignatura mediante evaluación continua. Si es inferior a 5,0, o si desea mejorar la calificación obtenida, podrá presentarse a la prueba de recuperación.
Prueba de recuperación
La prueba de recuperación constará de dos partes, j = 1, 2, una para cada uno de los dos bloques de la asignatura, cada una puntuada sobre 10.
Para cada bloque, si el alumnado entrega la parte correspondiente de la prueba de recuperación, la calificación obtenida, R_j, sustituirá a la calificación N_j del bloque correspondiente. Si decide no entregarla, conservará la calificación N_j obtenida en la evaluación continua.
La calificación definitiva de cada bloque, M_j, será, por tanto:
M_j = N_j, si no se entrega la parte j de la prueba de recuperación.
M_j = R_j, si se entrega la parte j de la prueba de recuperación.
La calificación final de la asignatura se calculará nuevamente como la media geométrica de las calificaciones definitivas de los dos bloques:
N_final = sqrt(M_1 M_2)
Evaluación única
El alumnado que se haya acogido a la modalidad de evaluación única deberá realizar una prueba final consistente en un único examen que comprenderá todo el temario de la asignatura. Este examen representará el 100% de la calificación final y no incluirá actividades de seminario. La prueba se realizará el mismo día, a la misma hora y en el mismo lugar que el segundo examen parcial de la modalidad de evaluación continua.
El alumnado que haya optado por la evaluación única dispondrá también de una prueba de recuperación, idéntica a la del alumnado de evaluación continua. Para poder presentarse a ella será imprescindible haberse presentado previamente a la prueba final. En esta modalidad, la calificación de la prueba de recuperación representará el 100% de la calificación final.
Leyenda
S_j: Calificación de la actividad de seminario.
E_j: Calificación del examen parcial.
N_j: Calificación del bloque en la evaluación continua.
R_j: Calificación de la prueba de recuperación del bloque.
M_j: Calificación definitiva del bloque tras la recuperación.
Nota
Cualquier irregularidad cometida en un acto de evaluación (fraude académico, plagio o uso indebido de la IA, salvo que dicho uso esté expresamente autorizado en la guía docente) que pueda dar lugar a una variación significativa de la calificación comportará que dicho acto de evaluación sea calificado con un 0. Si la guía docente establece que para superar la asignatura es imprescindible obtener una calificación mínima en ese acto de evaluación, o si se detectan varias irregularidades en actos de evaluación de la misma asignatura, la calificación final será de 0. Sin perjuicio de ello, podrá iniciarse el correspondiente procedimiento disciplinario contra el estudiante que haya incurrido en dichas irregularidades.
Bibliografía
- Apuntes de la asignatura elaborados por Emili Bagan y Carles Sánchez y puestos a disposición del alumnado a través del Campus Virtual.
- Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, W. E. Boyce & R. C. DiPrima, John Wiley & Sons (2012).
- Mathematical Methods for Physicists, G. B. Arfken, H. J. Weber & F. E. Harris, Academic Press.
- Partial Differential Equations: An Introduction, W. A. Strauss, John Wiley & Sons.
Software
Nociones de Python.
Grupos e idiomas de la asignatura
La información proporcionada es provisional hasta el 30 de noviembre. A partir de esta fecha, podrá consultar el idioma de cada grupo a través de este enlace. Para acceder a la información, será necesario introducir el CÓDIGO de la asignatura
| Tipo de docencia | Grupo | Idioma | Semestre | Turno |
|---|---|---|---|---|
| (TE) Teoría | 1 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (PAUL) Prácticas de aula | 1 | Catalán/Español | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (TE) Teoría | 2 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (PAUL) Prácticas de aula | 2 | Catalán/Español | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (SEM) Seminarios | 11 | Catalán/Español | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (SEM) Seminarios | 12 | Catalán/Español | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (SEM) Seminarios | 21 | Catalán/Español | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (SEM) Seminarios | 22 | Catalán/Español | primer cuatrimestre | manaña-mixto |