Logo

Transformades Integrals i Equacions Diferencials en Derivades Parcials

Codi: 107622
Crèdits: 6
2026/2027
Titulació Tipus Curs
Física OB 2

Professor/a de contacte

Nom :
Carles Sanchez Alonso
Correu electrònic :
carles.sanchez@uab.cat

Equip docent

Emili Bagan Capella

Idiomes dels grups

Podeu consultar aquesta informació al final del document.

Prerequisits

Es recomana tenir un bon coneixement de càlcul en una i diverses variables, d’àlgebra lineal bàsica i de la resolució d’equacions diferencials ordinàries de primer ordre i d’ordre superior amb coeficients constants.

Objectius

Donar les eines per resoldre equacions diferencials ordinàries i en derivades parcials que apareixen a Física mitjançant sèries de Fourier, transformades integrals, sèries de potències, funcions especials i teoria de Sturm–Liouville. Ensenyar a aplicar aquests mètodes a problemes amb condicions inicials i de contorn i a la modelització de diferents fenòmens físics. Posar de manifest que les transformades integrals constitueixen també una eina fonamental per a l'anàlisi de funcions, senyals i sistemes físics, més enllà de la resolució d'equacions diferencials.

Resultats d'aprenentatge

  • CM23 (Adaptar l'estratègia matemàtica avançada en abordar un problema complex determinat des del punt de vista analític.) Adaptar l'estratègia matemàtica avançada en abordar un problema complex determinat des del punt de vista analític.
  • KM22 (Identificar els conceptes avançats d'espai vectorial i de subespai, de forma bilineal i de producte escalar i tensorial, i la metodologia de la diagonalització d'endomorfismes.) Identificar els conceptes avançats d'espai vectorial i de subespai, de forma bilineal i de producte escalar i tensorial, i la metodologia de la diagonalització d'endomorfismes.
  • KM23 (Descriure els conceptes bàsics del càlcul i anàlisi i els diferents mètodes de resolució d'equacions diferencials en les seves diferents tipologies.) Descriure els conceptes bàsics del càlcul i anàlisi i els diferents mètodes de resolució d'equacions diferencials en les seves diferents tipologies.
  • SM19 (Aplicar els coneixements adquirits de matemàtica avançada a la resolució de problemes matemàtics i a l'hora a problemes físics amb representació matemàtica.) Aplicar els coneixements adquirits de matemàtica avançada a la resolució de problemes matemàtics i a l'hora a problemes físics amb representació matemàtica.

Continguts

1. Sèries de Fourier

  • Producte escalar, norma i ortogonalitat.
  • Sistemes ortogonals de funcions.
  • Desenvolupament en sèries de Fourier.
  • Convergència, identitat de Parseval i fenomen de Gibbs.
  • Aplicacions a la física.

2. Transformada de Fourier

  • Pas al límit de les sèries de Fourier en un interval infinit.
  • Definició de la transformada de Fourier i de la transformada inversa.
  • Propietats bàsiques.
  • Convolució.
  • Derivació i translació.
  • Delta de Dirac.
  • Aplicacions a la resolució d’equacions diferencials i problemes físics.

3. Transformada de Laplace

  • Definició i propietats bàsiques.
  • Transformada inversa.
  • Aplicació a la resolució d’equacions diferencials ordinàries i sistemes d’equacions diferencials ordinàries.
  • Aplicacions físiques.

4. Resolució d’equacions diferencials amb sèries de potències

  • Punts ordinaris i singulars regulars.
  • Solucions en sèrie.
  • Mètode de Frobenius aplicat a les equacions diferencials de segon ordre.

5. Funcions especials i polinomis ortogonals

  • Equacions de Legendre i Bessel.
  • Polinomis de Legendre i funcions de Bessel.
  • Fórmules de Rodrigues.
  • Relacions de recurrència bàsiques.
  • Ortogonalitat i normalització.
  • Aplicacions físiques.

6. Teoria de Sturm–Liouville

  • Operadors autoadjunts.
  • Problemes regulars i singulars d’autovalors.
  • Valors propis i funcions pròpies.
  • Ortogonalitat.
  • Desenvolupament en funcions pròpies.
  • Connexió amb les sèries de Fourier.
  • Aplicacions físiques.

7. Equacions diferencials en derivades parcials

  • Classificació elemental d’EDPs.
  • Equacions d’ones, de Laplace i de la calor.
  • Separació de variables.
  • Resolució de problemes en geometries cartesianes, cilíndriques i esfèriques.


Activitats formatives i Metodologia

Títol Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Seminaris 8 0,32 CM23, KM22, KM23, SM19
Estudi dels conceptes teòrics i dels mètodes 54 2,16 CM23, KM22, KM23, SM19
Classes teòriques 28 1,12 CM23, KM22, KM23, SM19
Resolució de problemes 27 1,08 CM23, KM22, KM23, SM19
Classes de problemes 14 0,56 CM23, KM22, KM23, SM19

Aquest curs constarà de lliçons teòriques, classes de problemes i seminaris:

Lliçons teòriques: Es presenten les definicions, els resultats teòrics i els mètodes de resolució propis de l’assignatura, il·lustrant-los amb exemples d’aplicació a problemes matemàtics i físics.

Classes de problemes: Es resolen i es discuteixen problemes relacionats amb els continguts del curs, amb l’objectiu d’aplicar les tècniques introduïdes a les classes de teoria.

Seminaris: L’alumnat resol problemes a l’aula, individualment o en grups petits, sota la supervisió d’un/a professor/a.



Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, perquè l'alumnat completi les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura.

Avaluació

Activitats d'avaluació continuada

Títol Pes Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Examen de recuperació 90% 5 0,2 CM23, KM22, KM23, SM19
Seminaris / entregues de problemes 10% 8 0,32 CM23, KM22, KM23, SM19
Examen parcial 2 45% 3 0,12 CM23, KM22, KM23, SM19
Examen parcial 1 45% 3 0,12 CM23, KM22, KM23, SM19

Avaluació continuada

En cadascun dels dos blocs, j =1,2, de l’assignatura les activitats realitzades durant els seminaris tindran una qualificació S_j, puntuada sobre 10. L’examen parcial corresponent tindrà una qualificació E_j, també puntuada sobre 10. La qualificació de cada bloc, N_j, es calcularà segons la fórmula:

N_j = S_j/10 + (9/10) E_j

És a dir, la qualificació de cada bloc serà la mitjana ponderada de l’examen parcial (90%) i de l’activitat de seminari corresponent (10%).

La qualificació final de l’avaluació continuada es calcularà com la mitjana geomètrica de les qualificacions dels dos blocs:

N = sqrt(N_1 N_2)

Si aquesta qualificació és igual o superior a 5,0, l’alumnat haurà superat l’assignatura per parcials. Si és inferior a 5,0, o si es vol millorar la qualificació obtinguda, es podrà presentar a la prova de recuperació.

Prova de recuperació

La prova de recuperació constarà de dues parts, j=1,2, una per a cadascun dels dos blocs de l’assignatura, cadascuna puntuada sobre 10.

Per a cada bloc, si l’alumnat lliura la part corresponent de la prova de recuperació, la qualificació obtinguda, R_j, substituirà la qualificació N_j del bloc corresponent. Si decideix no lliurar-la, conservarà la qualificació N_j obtinguda en l’avaluació continuada.

La qualificació definitiva de cada bloc, M_j, serà, per tant:

  • M_j = N_j, si no es lliura la part j de la prova de recuperació.
  • M_j = R_j, si es lliura la part j de la prova de recuperació.

La qualificació final de l’assignatura es calcularà novament com la mitjana geomètrica de les qualificacions definitives dels dos blocs:

N_final = sqrt(M_1 M_2)

Avaluació única

L’alumnat que s’hagi acollit a la modalitat d’avaluació única haurà de realitzar una prova final consistent en un únic examen que comprendrà tot el temari de l’assignatura. Aquest examen representarà el 100% de la qualificació final i no inclourà activitats de seminari. La prova es durà a terme el mateix dia, hora i lloc que el segon examen parcial de la modalitat d’avaluació continuada.

L’alumnat que hagi optat per l’avaluació única disposarà també d’una prova de recuperació, idèntica a la de l’alumnat d’avaluació continuada. Per poder presentar-s’hi serà imprescindible haver-se presentat prèviament a la prova final. En aquesta modalitat, la qualificació de la prova de recuperació representarà el 100% de la qualificació final.

Llegenda

  • S_j: qualificació de l’activitat de seminari.
  • E_j: qualificació de l’examen parcial.
  • N_j: qualificació del bloc en l’avaluació continuada.
  • R_j: qualificació de la prova de recuperació del bloc.
  • M_j: qualificació definitiva del bloc després de la recuperació.

Nota

Qualsevol irregularitat comesa en un acte d’avaluació (frau acadèmic, plagi o ús indegut de la IA, tret que aquest ús estigui autoritzat expressament a la guia docent) que pugui conduir a una variació significativa de la qualificació comportarà que aquest acte d’avaluació sigui qualificat amb un 0. Si la guia docent estableix que per superar l’assignatura és imprescindible obtenir una qualificació mínima en aquest acte d’avaluació, o si es detecten diverses irregularitats en actes d’avaluació de la mateixa assignatura, la qualificació final serà de 0. Sense perjudici d’això, es podrà iniciar el procediment disciplinari corresponent contra l’estudiant que hagi incorregut en aquestes irregularitats.


Bibliografia

  • Apunts de l'assignatura el·laborats per Emili Bagan i Carles Sánchez i que es posen a disposició de l'alumnat a través del Campus Virtual
  • Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, W.E. Boyce & R.C. DiPrima, John Wiley and Sons Ltd (2012)
  • Mathematical Methods for Physicists, G.B. Arfken, H.J. Weber & F.E. Harris, Academic Press.
  • Partial Differential Equations: An Introduction, W.A. Strauss, John Wiley and Sons.


Programari

Nocions de Python.

Grups i idiomes de l'assignatura

La informació proporcionada és provisional fins al 30 de novembre. A partir d'aquesta data, podreu consultar l'idioma de cada grup a través d'aquest enllaç. Per accedir a la informació, caldrà introduir el CODI de l'assignatura

Tipus de docència Grup Idioma Semestre Torn
(TE) Teoria 1 Català primer quadrimestre matí-mixt
(PAUL) Pràctiques d'aula 1 Català/Castellà primer quadrimestre matí-mixt
(TE) Teoria 2 Català primer quadrimestre matí-mixt
(PAUL) Pràctiques d'aula 2 Català/Castellà primer quadrimestre matí-mixt
(SEM) Seminaris 11 Català/Castellà primer quadrimestre matí-mixt
(SEM) Seminaris 12 Català/Castellà primer quadrimestre matí-mixt
(SEM) Seminaris 21 Català/Castellà primer quadrimestre matí-mixt
(SEM) Seminaris 22 Català/Castellà primer quadrimestre matí-mixt