Logo

Distribucions Multidimensionals

Codi: 104857
Crèdits: 6
2026/2027
Titulació Tipus Curs
Estadística Aplicada OB 2

Professor/a de contacte

Nom :
Xavier Bardina Simorra
Correu electrònic :
xavier.bardina@uab.cat

Equip docent

Marc Cano Cànovas

Idiomes dels grups

Podeu consultar aquesta informació al final del document.

Prerequisits

Probabilitat elemental. Variables aleatories reals. Càlcul diferencial i integral. Algebra elemental: espais vectorials i determinants.

Objectius

L'objectiu principal de l'assignatura és l'estudi de les distribucions de probabilitat de vectors aleatoris, tant discrets com continus. S'analitzen les principals característiques de les distribucions conjuntes, incloent-hi el vector de mitjanes, la matriu de variàncies i covariàncies, així com les distribucions marginals i condicionals.

Com a model discret de referència s'estudia detalladament la distribució multinomial, mentre que, en el cas continu, es dedica una atenció especial a la distribució normal multivariant. Aquesta distribució ocupa un paper central en l'estadística moderna i té nombroses aplicacions en la teoria dels models lineals, l'anàlisi multivariant i la teoria de la decisió estadística.

L'estudi de les distribucions multivariants contínues requereix l'ús de tècniques de càlcul diferencial i integral de diverses variables. Per aquest motiu, l'assignatura inclou una revisió dels conceptes i eines fonamentals d'aquest àmbit, orientada a les seves aplicacions en probabilitat i estadística.

Finalment, s'introdueix la teoria de les còpules i s'analitzen algunes de les seves aplicacions en la modelització de la dependència entre variables aleatòries.

Resultats d'aprenentatge

  • KM10 (Descriure les característiques de les funcions de distribució i densitat de variables aleatòries.) Descriure les característiques de les funcions de distribució i densitat de variables aleatòries.

Continguts

1. Vectors aleatoris. Distribucions multivariants.

1.1 Introducció a les distribucions bivariants.

1.2 Funcions de probabilitat conjunta i funcions de probabilitat marginals.

1.3 Cas continu. Funcions de densitat conjunta i funcions de densitat marginals.

1.4 Funció de distribució conjunta.

1.5 Distribucions multivariants. La distribució multinomial.

1.6 Funcions de dues o més variables aleatòries.


2. Independència i condicionament.

2.1 Independència de variables aleatòries.

2.2 Distribucions condicionals en els casos discret i absolutament continu.


3. Esperança i altres característiques numèriques.

3.1 Esperança d'una funció d'un vector aleatori.

3.2 Covariància i coeficient de correlació.

3.3 Esperança condicionada.

3.4 Funció generatriu de moments.

3.5 Característiques numèriques de la distribució multinomial.


4. La llei normal multivariant. Distribucions relacionades amb la llei normal.

4.1 Estudi de la llei normal bivariant.

4.2 La llei normal multivariant.

4.3 Distribucions relacionades amb la llei normal: khi-quadrat, t de Student i F de Fisher-Snedecor.

4.4 Teorema de Fisher. Teorema de Cochran.

4.5 Relació entre la distribució multinomial i la distribució normal multivariant.


5. Còpules de variables aleatòries.

5.1 Introducció.

5.2 Mètode d'inversió.

5.3 Definició matemàtica de les còpules.

5.4 Teorema de Sklar.

5.5 Exemples extrems de còpules.

5.6 Teorema de Fréchet-Hoeffding (cas bivariant).

5.7 Família FGM.

5.8 Mesures de dependència basades en còpules.

5.9 Còpules en dimensió superior.

Activitats formatives i Metodologia

Títol Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Preparació d'exàmens 20 0,8
Pràctiques de laboratori (amb Maxima i R) i seminaris 12 0,48
Classes pràctiques de problemes 12 0,48
Classes de teoria 25 1
Treball personal d'exercicis i de teoria 61 2,44 KM10

Aquesta assignatura és quadrimestral i consta d'una mitjana de dues hores de teoria i una hora de problemes a la setmana de classe presencial. A més a més hi haurà tres sessions de seminaris de dues hores i tres sessions de pràctiques de laboratori de dues hores.


La introducció dels conceptes a la classe de teoria és fonamental per tal que l'alumne pugui entendre i assolir els fonaments de la teoria de la probabilitat que s'introdueixen en aquesta assignatura. El coneixement de les nocions introduïdes a teoria, dels enunciats de les proposicions i teoremes, així com dels exemples d'aplicació, són imprescindibles per tal que l'alumne pugui, a la classe de problemes, resoldre les qüestions plantejades mitjançant una metodologia semblant. Es treballarà l'estructura definició-teorema-demostració-aplicació, ja que és la manera que l'alumne pugui entendre i seguir els raonaments de la teoria matemàtica que s'està explicant, a la vegada que pugui veure i entendre quin paper juguen els diferents elements de què es disposa en les demostracions de nous fets matemàtics, així com les hipòtesis que es necessita imposar. Naturalment, s'intenta estimular l'esperit crític davant qualsevol afirmació matemàtica, així com la intuïció de l'adequació dels diferents models matemàtics utilitzats a les situacions reals més diverses (físiques, biològiques, d'economia,...), gràcies a la realització de problemes aplicats a diferents àrees, on la modelització hi juga un paper molt important.


A les classes de problemes es resoldran problemes pràctics. També es tindrà cura de l'expressió tant oral com escrita dels alumnes. D'altra banda, en les sessions de seminaris i laboratoris, l'estudiant treballarà, sota la tutela del professor, algunes situacions pràctiques que estiguin relacionades amb el que s'ha estudiat en les classes de teoria. Aquestes sessions permetran també que, tant professor com alumne, puguin ser conscients de l'evolució en l'assoliment dels conceptes i mètodes que s'introdueixen en les classes de teoria.

Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, perquè l'alumnat completi les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura.

Avaluació

Activitats d'avaluació continuada

Títol Pes Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Wooclap 10% 2 0,08 KM10
Segon parcial 40% 4 0,16 KM10
Examen de recuperació 80% 4 0,16 KM10
Dossiers de pràctiques 10% 6 0,24 KM10
Primer parcial 40% 4 0,16 KM10

Avaluació continuada

Es realitzaran dos exàmens parcials: el primer a la meitat del curs i el segon al final del curs. Cada examen tindrà un pes del 40% en la qualificació final de l'assignatura.

Al llarg del curs es duran a terme tres pràctiques de laboratori. Els estudiants hauran de lliurar un dossier corresponent a cadascuna d'elles. La qualificació conjunta dels dossiers de pràctiques tindrà un pes del 10% en la qualificació final.

Al final de cadascuna de les dotze sessions de teoria es realitzarà una activitat mitjançant Wooclap. La puntuació de cada activitat serà el percentatge de respostes correctes. La qualificació corresponent a aquestes activitats s'obtindrà com la mitjana de les nou millors puntuacions aconseguides al llarg del curs i tindrà un pes del 10% en la qualificació final.


Avaluació única

Els estudiants que optin per l'avaluació única realitzaran, en la data establerta per a l'examen final, les activitats següents:

  • Un examen de teoria i problemes, amb un pes del 80% en la qualificació final.
  • Un examen pràctic, amb un pes del 10% en la qualificació final.
  • Una activitat Wooclap, amb un pes del 10% en la qualificació final.



Bibliografia

  • Cuadras, C. M. (1995). Problemas de probabilidades y estadística. Vol. 1: Probabilidades. EUB.
  • Johnson, R. A., & Wichern, D. W. (2018). Applied Multivariate Statistical Analysis (6th ed.). Pearson.
  • Julià, O., Márquez-Carreras, D., Rovira, C., & Sarrà, M. (2005). Probabilitats: problemes i més problemes. Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona.
  • Nelsen, R. B. (2006). An Introduction to Copulas (2nd ed.). Springer.
  • Ross, S. M. (2019). A First Course in Probability (10th ed.). Pearson.
  • Spiegel, M. R., Schiller, J. J., & Srinivasan, R. A. (2014). Probabilidad y estadística (4.ª ed.). McGraw-Hill Education.

Programari

  • R Core Team (2021). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL https://www.R-project.org/.
  • wxMaxima  (C) 2004-2018 Andrej Vodopivec

 

 

Grups i idiomes de l'assignatura

La informació proporcionada és provisional fins al 30 de novembre. A partir d'aquesta data, podreu consultar l'idioma de cada grup a través d'aquest enllaç. Per accedir a la informació, caldrà introduir el CODI de l'assignatura

Tipus de docència Grup Idioma Semestre Torn
(TE) Teoria 1 Català primer quadrimestre tarda
(PAUL) Pràctiques d'aula 1 Català primer quadrimestre tarda
(PLAB) Pràctiques de laboratori 1 Català primer quadrimestre tarda
(PLAB) Pràctiques de laboratori 2 Català primer quadrimestre tarda