Ecuaciones Diferenciales y Modelización I
Código: 100100Créditos: 9
| Titulación | Tipo | Curso |
|---|---|---|
| Matemáticas | OB | 3 |
Profesor/a de contacto
- Nombre :
- Jordi Villadelprat Yague
- Correo electrónico :
- jordi.villadelprat@uab.cat
Equipo docente
- Joan Torregrosa Arus
Idiomas de los grupos
Puede consultar esta información al final del documento.
Prerrequisitos
Álgebra lineal
Fundamentos de las matemáticas
Funciones de variable real
Cálculo con varias variables y optimización
Objetivos
La teoría de Ecuaciones Diferenciales (ED's) se distingue tanto por la riqueza de ideas y métodos como por su aplicabilidad. Así, la asignatura Ecuaciones Diferenciales y Modelización I tiene una vertiente teórica (que se trabajará en las clases de teoría y de problemas) y una vertiente muy aplicada, que se introducirá en las clases de teoría y que se practicará tanto en clases de problemas como en las clases prácticas que se realizarán en el laboratorio de informática. Por un lado, se hará énfasis en la presentación de la teoría y en la demostración de los resultados y, por otro lado, los alumnos aprenderán a modelar situaciones reales que les permitan predecir los comportamientos estudiados. A nivel formativo, consideramos que esta asignatura es valiosa para mostrar a los alumnos que ciertos resultados teóricos que ya conocen de otras materias — como las propiedades topológicas de los espacios normados o el Teorema de la forma canónica de Jordan, por ejemplo — se aplican a la hora de fundamentar la teoría de ecuaciones diferenciales, para finalmente poder dar respuesta a preguntas motivadas por problemas aplicados que vienen regidos por modelos deterministas.
Resultados de aprendizaje
- Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Trabajar en equipo.
- Aplicar los principales métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y algunas ecuaciones en derivadas parciales sencillas.
- Traducir algunos problemas reales en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.
- Resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Contenidos
1. Ecuaciones diferenciales de primer orden en una variable.
1.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales. Métodos de resolución: ecuaciones separables, lineales, exactos, factores integrantes. Cambio de variable.
1.2 Aplicaciones: Desintegración radiactiva, problemas de mezclas, modelos de poblaciones, etc.
2.Teoremas Fundamentales.
2.1 El espacio de funciones continuas y acotadas sobre un espacio topológico: Existencia y unicidad de soluciones, intervalo máximo de las soluciones, estructura del espacio de soluciones, matrices fundamentales.
2.2 Teoremas de Picard y de Peano: Funciones localmente lipschitzianes. Existencia y unicidad locales. Stone-Weierstrass y demostración de Peano.
2.3 Prolongación de soluciones: Existencia y unicidad de soluciones improrogables para problemas con existencia y unicidad de soluciones. El Lema de Wintner.
2.4 Dependencia continua y diferenciable de las solucionesrespecto de condiciones iniciales y parámetros: Enunciado de los teoremas y ejemplos.
3. Ecuaciones lineales.
3.1 Propiedades generales de las ecuaciones diferenciales lineales: Existencia y unicidad de soluciones para el problema de Cauchy, estructura del espacio de soluciones de las ecuaciones lineales, matrices fundamentales.
3.2 Sistemas de ecuaciones lineales a coeficientes constantes: Exponencial de una matriz. Cálculo de la exponencial de las matrices canónicas de Jordan. El caso no homogéneo.
3.3 La ecuación lineal de orden n: Propiedades generales. Las ecuaciones homogéneas a coeficientes constantes. Cálculo de soluciones particulares para la no homogénea.
3.4 La ecuación lineal de orden 2: Sistemas mecánicos, circuitos eléctricos, oscilaciones periódicas forzadas. El fenómeno de la resonancia.
4. Teoría cualitativa de sistemas autónomos.
4.1 Sistema dinámico inducido por una ecuación diferencial autónoma. Puntos críticos y órbitas periódicas. Estabilidad. Equivalencia y conjugación.
4.2 Teorema del flujo tubular. Teorema de Hartman.
4.3 Estudio cualitativo de las ecuaciones lineales.
Actividades formativas y Metodología
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Clases de teoria | 30 | 1,2 | |
| Estudio de la teoria y resolución de problemas | 136 | 5,44 | |
| Clases de problemas | 29 | 1,16 | |
| Prácticas de modelización | 16 | 0,64 |
En el proceso de aprendizaje de la materia es fundamental el trabajo del alumno, quien en todo momento dispondrá de la ayuda del profesor.
Distinguimos entre tres tipos de actividades dirigidas:
Clases de Teoría: El profesor introduce los conceptos básicos correspondientes a la materia de la asignatura mostrando ejemplos, propiedades y resultados fundamentales de su aplicación. El alumno deberá complementar las explicaciones del profesor
con el estudio personal.
Clases de Problemas: Se trabaja la comprensión y aplicación de los conceptos y herramientas introducidos en teoría, con la realización de ejercicios teóricos y / o prácticos. Es bien sabido que la única manera de aprender matemáticas es haciendo muchos y muchos problemas.
Por esta razón pensamos que el alumno debe dedicar un mínimo de 5 horas a la semana a la resolución de problemas de esta asignatura. El alumno dispondrá de listas de problemas, que debe pensar, intentar resolver y sobre los que se trabajará en las clases de problemas. Se pide una entrega de problemas para cada tema a fin de garantizar que este trabajo se hace de manera continuada.
Prácticas de ordenador: en cada sesión se trabajará con una forma de ecuación diferencial diferente para modelizar una situación real y predecir comportamientos futuros dependiendo de parámetros.
Los ejercicios que aparecen en las listas de problemas o prácticas y que no se ha terminado en la sesión deberá resolverlos el alumno como parte de su trabajo autónomo.
En la página web Moodle Aulas de la asignatura se colgará los apuntes de Teoría, las listas de Problemas y de Prácticas; también se cuelga semanalmente un resumen de las clases de Teoría y Problemas.
Evaluación
Actividades de evaluación continuada
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Examen de recuperación | 85% | 4 | 0,16 | 1, 3, 5, 6, 7 |
| Segundo examen parcial | 45% | 4 | 0,16 | 1, 3, 5, 6, 7 |
| Primer examen parcial | 40% | 4 | 0,16 | 1, 3, 5, 6, 7 |
| Examen de las Prácticas de Modelización | 15% | 2 | 0,08 | 1, 2, 4, 6, 7 |
Evaluación continuada Constará de las siguientes actividades de evaluación:
- Examen de las Prácticas de Modelización, con un peso del 15%. Esta actividad NO es recuperable.
- Un examen parcial a mitad del cuatrimestre, con un peso del 40%.
- Un examen parcial al final del cuatrimestre, con un peso del 45%.
Recuperación: Media ponderada de la nota obtenida en un examen de toda la materia (85%) y la nota obtenida en el examen de prácticas (15%).
Evaluación única Media ponderada de la nota obtenida en un examen de toda la materia (85%) y la nota obtenida en el examen de prácticas (15%). En caso de suspender, se aplicará el mismo sistema de recuperación que para la evaluación continuada.
Se considerará que un alumno obtiene la calificación de No evaluable si el peso ponderado de las actividades de evaluación realizadas es inferior a las dos terceras partes de las programadas para la asignatura.
Nota: En esta asignatura, no se permite el uso de tecnologías de Inteligencia Artificial (IA) en ninguna de sus fases. Cualquier trabajo que incluya fragmentos generados con IA será considerado una falta de honestidad académica y puede conllevar una penalización parcial o total en la nota de la actividad, o sanciones mayores en casos de gravedad.
Bibliografía
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M. Guzmán. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ed. Alhambra, Madrid, 1978.
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H. Ricardo. Ecuaciones diferenciales: una introducción moderna. Editorial Reverté, Barcelona, 2008.
J. Sotomayor. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. IMPA, 2025 (segona edició).
D.G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. International Thomson Editores,México, 2001.
Software
Cualquiera relacionado con ecuaciones diferenciales.
Grupos e idiomas de la asignatura
La información proporcionada es provisional hasta el 30 de noviembre. A partir de esta fecha, podrá consultar el idioma de cada grupo a través de este enlace. Para acceder a la información, será necesario introducir el CÓDIGO de la asignatura
| Tipo de docencia | Grupo | Idioma | Semestre | Turno |
|---|---|---|---|---|
| (TE) Teoría | 1 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (PAUL) Prácticas de aula | 1 | Catalán/Español | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (PLAB) Prácticas de laboratorio | 1 | Catalán/Español | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (PAUL) Prácticas de aula | 2 | Catalán/Español | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (PLAB) Prácticas de laboratorio | 2 | Catalán/Español | primer cuatrimestre | manaña-mixto |