Guia en format PDF
Logo

Equacions Diferencials i Modelització I

Codi: 100100
Crèdits: 9
2026/2027
Titulació Tipus Curs
Matemàtiques OB 3

Professor/a de contacte

Nom :
Jordi Villadelprat Yague
Correu electrònic :
jordi.villadelprat@uab.cat

Equip docent

Joan Torregrosa Arus

Idiomes dels grups

Podeu consultar aquesta informació al final del document.

Prerequisits

Àlgebra lineal.

Fonaments de les matemàtiques.

Funcions de variable real.

Càlcul amb diverses variables i optimització.

Objectius

La teoria d'Equacions Diferencials (ED's) es distingeix tant per la riquesa d'idees i mètodes com per la seva aplicabilitat. Així l'assignatura Equacions Diferencials i Modelització I té una vessant teòrica (que es treballarà a les classes de teoria i de problemes) i una vessant molt aplicada, que s'introduirà a les classes de teoria i que es practicarà tant a classes de problemes com a les classes pràctiques que es realitzaran al laboratori d'informàtica. D'una banda farem èmfasi en la presentació de la teoria i en la demostració dels resultats i d'altra banda els alumnes aprendran a modelar situacions reals que els permetin predir els comportaments estudiats.

A nivell formatiu pensem que aquesta assignatura és bona per mostrar als alumnes que certs resultats teòrics que ja coneixen d'altres matèries (propietats topol·lògiques dels espais normats o el Teorema de la forma canònica de Jordan, per exemple) s'apliquen a l'hora de fonamentar la teoria d'equacions diferencials per finalment poder donar resposta a preguntes motivades per problemes aplicats que venen regits per models deterministes.

Resultats d'aprenentatge

  1. Que els estudiants sàpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocació d'una forma professional i posseeixin les competències que solen demostrar-se per mitjà de l'elaboració i defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
  2. Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
  3. Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
  4. Treballar en equip.
  5. Aplicar els principals mètodes per resoldre equacions diferencials ordinàries i algunes equacions en derivades parcials senzilles.
  6. Traduir alguns problemes reals en termes d'equacions diferencials ordinàries i equacions en derivades parcials.
  7. Resoldre sistemes lineals d'equacions diferencials ordinàries.

Continguts

1. Equacions diferencials de primer ordre en una variable.


1.1 Introducció a les equacions diferencials. Mètodes de resolució: equacions separables, lineals, exactes, factors integrants. Canvi de variable.


1.2 Aplicacions: Desintegració radioactiva, problemes de barreges, models de poblacions, etc.


2. Teoremes Fonamentals.


2.1 L'espai de funcions contínues i acotades sobre un espai topològic: Existència i unicitat de solucions, interval màxim de les solucions, estructura de l'espai de solucions, matrius fonamentals.


2.2 Teoremes de Picard i de Peano: Funcions localment lipschitzianes. Existència i unicitat locals. Stone-Weierstrass i demostració de Peano.


2.3 Prolongació de solucions: Existència i unicitat de solucions improrogables per a problemes amb existència i unicitat de solucions. El Lema de Wintner.


2.4 Dependència contínua i diferenciable de les solucions respecte de condicions inicials i paràmetres: Enunciat dels teoremes i exemples.


3. Equacions lineals.


3.1 Propietats generals de les equacions diferencials lineals: Existència i unicitat de solucions per al problema de Cauchy, estructura de l'espai de solucions de les equacions lineals, matrius fonamentals.


3.2 Sistemes d'equacions lineals a coeficients constants: Exponencial d'una matriu. Càlcul de l'exponencial de les matrius canòniques de Jordan. El cas no homogeni.


3.3 L'equació lineal d'ordre n: Propietats generals. Les equacions homogènies a coeficients constants. Càlcul de solucions particulars per a la no homogènia.


3.4 L'equació lineal d'ordre 2: Sistemes mecànics, circuits elèctrics, oscil·lacions periòdiques forçades. El fenomen de la ressonància.


4. Teoria qualitativa de sistemes autònoms.


4.1 Sistema dinàmic induït per una equació diferencial autònoma. Punts crítics i òrbites periòdiques. Estabilitat. Equivalència i conjugació.


4.2 Teorema del flux tubular. Teorema de Hartman.


4.3 Estudi qualitatiu de les equacions lineals.

Activitats formatives i Metodologia

Títol Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Classes de teoria 30 1,2
Estudi de la teoria i resolució de problemes 136 5,44
Classes de problemes 29 1,16
Pràctiques de modelització 16 0,64

En el procés d'aprenentatge de la matèria és fonamental el treball de l'alumne, que en tot moment disposarà de l'ajut del professor.

Distingim entre tres tipus d'activitats dirigides:

Classes de Teoria: El professor introdueix els conceptes bàsics corresponents a la matèria de l'assignatura mostrant el seu significat i utilitat. L'alumne haurà de complementar les explicacions del professor amb l'estudi personal.

Classes de Problemes: Es treballa la comprensió i aplicació dels conceptes i eines introduïts a teoria, amb la realització d'exercicis teòrics i/o pràctics. 

Classes de Pràctiques: es dedicaran a estudiar els mètodes i eines de resolució d'EDOS amb tot detall, amb ordinador o sense.

Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, perquè l'alumnat completi les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura.

Avaluació

Activitats d'avaluació continuada

Títol Pes Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Examen de recuperació 85% 4 0,16 1, 3, 5, 6, 7
Segon examen parcial 45% 4 0,16 1, 3, 5, 6, 7
Primer examen parcial 40% 4 0,16 1, 3, 5, 6, 7
Examen de les Pràctiques de Modelització 15% 2 0,08 1, 2, 4, 6, 7


Avaluació continuada Constarà de les següents activitats d'avaluació:

  • Examen de les Pràctiques de Modelització, amb un pes del 15%. Aquesta activitat NO és recuperable.
  • Un examen parcial a la meitat del quadrimestre, amb un pes del 40%.
  • Un examen parcial al final del quadrimestre, amb un pes del 45%.


Recuperació: Mitjana ponderada de la nota obtinguda en un examen de tota la matèria (85%) i la nota obtinguda en l'examen de pràctiques (15%).


Avaluació única Mitjana ponderada de la nota obtinguda en un examen de tota la matèria (85%) i la nota obtinguda en l'examen de pràctiques (15%). En cas de suspendre, s’aplicarà el mateix sistema de recuperació que per l’avaluació continuada.


Es considerarà que un alumne obté la qualificació de No avaluable si el pes ponderat de les activitats d'avaluació realitzades és inferior a les dues terceres parts de les programades per l'assignatura.


Nota: En aquesta assignatura, no es permet l'ús de tecnologies d'Intel·ligència Artificial (IA) en cap de les seves fases. Qualsevol treball que inclogui fragments generats amb IA serà considerat una falta d'honestedat acadèmica i pot comportar una penalització parcial o total en la nota de l'activitat, o sancions majors en casos de gravetat.






Bibliografia

Els continguts del curs estan coberts en gran part pels Apunts de Francesc Mañosas, que serà penjada a la aula moodle. La bibliioteca de la Facultat de Ciències disposa d'un fons biliogràfic de Matemàtiques excepcional, així que és molt recomanable que useu aquests recursos, ja sigui per buscar altres llibres de consulta o per aprofundir i ampliar coneixements. Les referències citades a sota són complementàries i tan sols indicatives.

P. Blanchard, and R.L. Devaney. Differential Equations. G.R. Hall, 2002. Traduït al castellà: \"Ecuaciones Diferenciales\". International Thomson Editores, México, 1999.

E. Boyce, y R.C. Di Prima. Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera. Ed. Limusa, México, 1967.

R. Cubarsí. Equacions diferencials i la transformada de Laplace. Iniciativa Digital Politècnica, 2012. (http://hdl.handle.net/2099.3/36610)

C. Fernandez y J.M. Vegas. Ecuaciones diferenciales. Pirámide, Madrid, 1996.

G. Fulford, P. Forrester, A. Jones. Modelling with differential and difference equations. Cambridge University Press, New York, 1997.

M. Guzmán. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ed. Alhambra, Madrid, 1978.

V. Jimenez. Ecuaciones diferenciales. Serie: enseñanza. Universidad de Murcia, 2000.

M.C. Leseduarte, M. D. Llongueras, A. Magaña, R. Quintanilla de Latorre. Equacions Diferencials: Problemes resolts. Iniciativa Digital Politècnica, 2012. (http://hdl.handle.net/2099.3/36607)

F. Mañosas. Apunts d'Equacions diferencials. Campus virtual.

R. Martínez. Models amb Equacions Diferencials. Materials de la UAB, Servei de Publicacions de la UAB, no. 149. Bellaterra, 2004.

G.A. Muñozy J.B. Seoane. Fundamentos y problemas resueltos de Teoria cualitativa de ecuaciones diferenciales. Paraninfo, Madrid, 2017.

H. Ricardo. Ecuaciones diferenciales: una introducción moderna. Editorial Reverté, Barcelona, 2008.

J. Sotomayor. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. IMPA, 2025 (segona edició).

D.G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. International Thomson Editores,México, 2001.

Programari

Qualsevol que tingui relació amb les equacions diferencials.

Grups i idiomes de l'assignatura

La informació proporcionada és provisional fins al 30 de novembre. A partir d'aquesta data, podreu consultar l'idioma de cada grup a través d'aquest enllaç. Per accedir a la informació, caldrà introduir el CODI de l'assignatura

Tipus de docència Grup Idioma Semestre Torn
(TE) Teoria 1 Català primer quadrimestre matí-mixt
(PAUL) Pràctiques d'aula 1 Català/Castellà primer quadrimestre matí-mixt
(PLAB) Pràctiques de laboratori 1 Català/Castellà primer quadrimestre matí-mixt
(PAUL) Pràctiques d'aula 2 Català/Castellà primer quadrimestre matí-mixt
(PLAB) Pràctiques de laboratori 2 Català/Castellà primer quadrimestre matí-mixt