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Estructuras Algebraicas

Código: 100096
Créditos: 9
2026/2027
Titulación Tipo Curso
Matemáticas OB 2

Profesor/a de contacto

Nombre :
Xavier Xarles Ribas
Correo electrónico :
xavier.xarles@uab.cat

Equipo docente

Marc Masdeu Sabate
Guillem Quingles Daví

Idiomas de los grupos

Puede consultar esta información al final del documento.

Prerrequisitos

Los requisitos académicos previos son los contenidos de las asignaturas Fonaments de les matemàtiques y Àlgebra Lineal, de primer curso.

Son especialmente importantes el conocimiento de las operaciones en la aritmética, en los grupos de permutaciones y de las matrices en general, además de los anillos de polinomios y de los espacios vectoriales como modelo de estructura algebraica. 

Objetivos

Los objetivos de esta asignatura son de dos tipos: alcanzar formación en álgebra básica y lograr conocimientos y destrezas para manipular objetos abstractos.


Entre los objetivos de carácter formativo destacamos los siguientes:

entender y utilizar correctamente el lenguaje y el razonamiento matemático, en general, y algebraico, en particular. Ser capaz de hacer pequeñas demostraciones, desarrollar el sentido crítico ante las afirmaciones matemáticas, desarrollar actitudes combativas y la creatividad ante los problemas y, finalmente, aprender a aplicar los conceptos y resultados abstractos en ejemplos concretos. Presentar un razonamiento o un problema en público y desarrollar agilidad para responder cuestiones matemáticas en una conversación. Se pondrá especial énfasis en las propiedades universales de las diversas construcciones introducidas durante el curso.

Resultados de aprendizaje

  • KM20 (Reproducir los algoritmos de cálculo del máximo común divisor y de factorización de números enteros y polinomios.) Reproducir los algoritmos de cálculo del máximo común divisor y de factorización de números enteros y polinomios.
  • SM15 (Operar en algunos grupos sencillos como cíclicos, diédricos, simétricos y abelianos.) Operar en algunos grupos sencillos como cíclicos, diédricos, simétricos y abelianos.
  • SM16 (Construir grupos, anillos cociente y cuerpos finitos con el objetivo de operar en ellos.) Construir grupos, anillos cociente y cuerpos finitos con el objetivo de operar en ellos.
  • SM17 (Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.) Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.

Contenidos

La asignatura está organizada en dos partes:


I. Teoría de Grupos.


  • Grupos, subgrupos y homomorfismos. Ejemplos básicos.
  • Acción de un grupo sobre un conjunto.
  • Clases laterales. El Teorema de Lagrange.
  • Subgrupos normales, grupo cociente.
  • Teoremas de isomorfismo.
  • Grupos libres, generadores y relaciones.
  • Teoremas de Sylow.
  • Grupos simples y grupos resolubles.



II. Anillos conmutativos


  • Anillos, ideales y morfismos. Ejemplos básicos
  • El anillo de polinomios
  • Cocientes y teoremas de isomorfísmo.
  • Cuerpos y dominios.
  • Ideales máximales y ideales primos.
  • Cuerpo de fracciones de un dominio.
  • Dominios de ideales principales.
  • Dominios de factorización única.
  • Lema de Gauss. Factorización en anillos de polinomios.
  • Existencia y unicidad de cuerpos finitos.


Actividades formativas y Metodología

Título Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Dirigidas 16 0,64
Clases de teoria 43 1,72
Preparación de seminarios 145 5,8
Seminarios 14 0,56

Esta asignatura tiene 3 horas semanales de teoría, una hora semanal de clase de problemas y, durante el curso, 8 sesiones de seminario de dos horas cada una.

Las listas de problemas se haran públicas previamente en e campus virtual para poder trabajar en ellos antes de las clases de problemas. Es altamente recomendable que así se haga. En clase solo se resolverán algunos de los problemas propuestos; recomendamos trabajarlos por cuenta propia y que pregunten sus dudas a los profesores.

En las sesiones de seminario el alumnado trabajará en el aula bajo la supervisión de un profesor. Habrá algunas pruebas individualizadas sobre el contenido de los seminarios.

El tiempo previsto en la tabla es aproximado, y, evidentemente, cada persona deberá adaptarlo a su situación. De todos modos, y teniendo en cuenta que esta asignatura vale 9 créditos, que es el 30% de los créditos de un semestre estándar, es aconsejable una dedicación de entre 12 y 14 horas semanales, incluyendo las clases presenciales.

Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.

Evaluación

Actividades de evaluación continuada

Título Peso Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Evaluación del seminario 20% 1 0,04 KM20, SM15, SM16, SM17
Examen 40% 3 0,12 KM20, SM15, SM16, SM17
Examen 40% 3 0,12 KM20, SM15, SM16, SM17

Un 20% de la nota corresponde a la entrega de problemas en los seminarios (S).

Un 40% de la nota, P1, corresponde a la obtenida en un primer examen parcial, para evaluar las capacidades teóricas y prácticas de la asignatura.

Un 40% de la nota, P2, corresponde a la obtenida en un segundo examen parcial. En este examen se evaluarán los conocimientos teóricos y prácticos de la asignatura.

La nota final de la asignatura se obtiene de la fórmula N=0'2·S + 0'4·P1 + 0'4·P2. La asignatura quedará aprobada si la nota N es igual o superior a 5.

Las matrículas de honor se otorgarán en función del valor de N.

Quien haya obtenido una nota N<5, podrá presentarse a un examen de recuperación. Si llamamos R la nota obtenida en esta prueba, y N'=0'2·S+0'8·R es superior o igual a 5, la nota de la asignatura será de 5. Si N'<5, entonces la nota obtenida será el máximo entre N y N'.

En la opción de evaluación única, se realizará un examen el mismo día que el segundo parcial, que constará de dos partes, cada una correspondiente a los dos exámenes parciales; además, y durante el mismo dia si es posible, se realizará una prueva (escrita u oral) que corresponde a la evaluación de los seminarios. Para la recuperación, en el caso que sea necesaria, en la opción de evaluación única, será como el resto de la clase.

Bibliografía

[1] R. Antoine, R. Camps, J. Moncasi. Introducció a l'àlgebra abstracta. Manuals de la UAB, Servei de Publicacions de la UAB, no. 46, Bellaterra, 2007.

[2] F. Cedó, V. Gisin, Àlgebra bàsica, Manuals de la UAB, Servei de Publicacions de la UAB, no. 21, Bellaterra, 2007.

[3] David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd. Edition, Wiley, 2003.

[4] J.B. Fraleigh. A First course in abstract algebra. Pearson Education, 7th Edition, 2014. Review: https://www.maa.org/press/maa-reviews/abstract-algebra

[5] T. W. Hungerford, Abstract Algebra, Brooks/Cole, 2013. Review: https://www.maa.org/press/maa-reviews/abstract-algebra-an-introduction

Software

Se puede usar Sagemath y los programas que lleva incorporados como GAP para los cálculos en la mayor parte de la asignatura. Ademàs se introducirá el lenguaje lean4 para mostrar algunas demostraciones simples de teoria de grupos.

Grupos e idiomas de la asignatura

La información proporcionada es provisional hasta el 30 de noviembre. A partir de esta fecha, podrá consultar el idioma de cada grupo a través de este enlace. Para acceder a la información, será necesario introducir el CÓDIGO de la asignatura

Tipo de docencia Grupo Idioma Semestre Turno
(TE) Teoría 1 Catalán segundo cuatrimestre manaña-mixto
(PAUL) Prácticas de aula 1 Catalán segundo cuatrimestre manaña-mixto
(SEM) Seminarios 1 Catalán segundo cuatrimestre manaña-mixto
(PAUL) Prácticas de aula 2 Catalán segundo cuatrimestre manaña-mixto
(SEM) Seminarios 2 Catalán segundo cuatrimestre manaña-mixto