Estructures Algebràiques
Codi: 100096Crèdits: 9
| Titulació | Tipus | Curs |
|---|---|---|
| Matemàtiques | OB | 2 |
Professor/a de contacte
- Nom :
- Xavier Xarles Ribas
- Correu electrònic :
- xavier.xarles@uab.cat
Equip docent
- Marc Masdeu Sabate
- Guillem Quingles Daví
Idiomes dels grups
Podeu consultar aquesta informació al final del document.
Prerequisits
Els requisits acadèmics previs són els continguts de les assignatures Fonaments de les Matemàtiques i Àlgebra Lineal, de primer curs.
Són especialment importants el coneixement de les operacions en l'aritmètica, en els grups de permutacions i de les matrius en general, a més dels anells de polinomis i dels espais vectorials com a model d'estructura algebraica.
Objectius
Els objectius d'aquesta assignatura són de dos tipus: assolir formació en àlgebra bàsica i assolir coneixements i destreses per a manipular objectes abstractes.
Entre els objectius de caràcter formatiu destaquem els següents: entendre i utilitzar correctament el llenguatge i el raonament matemàtic, en general, i algebraic, en particular. Ser capaç de fer petites demostracions, desenvolupar el sentit crític davant les afirmacions matemàtiques, desenvolupar actituds combatives i la creativitat davant els problemes i, finalment, aprendre a aplicar els conceptes i resultats abstractes en exemples concrets. Presentar un raonament o un problema en públic i desenvolupar agilitat per respondre qüestions matemàtiques en una conversa. Es posarà especial èmfasi en les propietats universals de les diverses construccions introduïdes durant el curs.
Resultats d'aprenentatge
- KM20 (Reproduir els algoritmes de càlcul del màxim comú divisor i de factorització de nombres enters i polinomis.) Reproduir els algoritmes de càlcul del màxim comú divisor i de factorització de nombres enters i polinomis.
- SM15 (Operar en alguns grups senzills com ara cíclics, dièdrics, simètrics i abelians.) Operar en alguns grups senzills com ara cíclics, dièdrics, simètrics i abelians.
- SM16 (Construir grups, anells quocient i cossos finits amb l’objectiu d’operar-hi.) Construir grups, anells quocient i cossos finits amb l’objectiu d’operar-hi.
- SM17 (Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d’argumentar o fer públiques les conclusions dels seus treballs.) Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d’argumentar o fer públiques les conclusions dels seus treballs.
Continguts
L'assignatura està organitzada en dues parts, essencialment corresponents als diferents tipus d'estructures que volem estudiar:
I. Teoria de Grups.
- Monoids, grups, subgrups i homomorfismes. Exemples bàsics.
- Acció d'un grup sobre un conjunt.
- Classes laterals. El Teorema de Lagrange.
- Subgrups normals, grup quocient.
- Teoremes d'isomorfisme.
- Grups lliures, presentacions i relacions.
- Teoremes de Sylow.
- Grups simples i grups resolubles.
II. Anells commutatius
- Anells, ideals i homomorfismes. Exemples bàsics.
- Quocients i teoremes d'isomorfia.
- L'anell de polinomis
- Cossos i dominis.
- Ideals maximals i ideals primers.
- Cos de fraccions d'un domini.
- Dominis d'ideals principals.
- Dominis de factorització única.
- Lema de Gauss. Factorització en anells de polinomis.
- Existència i unicitat de cossos finits.
Activitats formatives i Metodologia
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Classes de problemes | 16 | 0,64 | |
| Classes de teoria | 43 | 1,72 | |
| Estudi personal i preparació dels seminaris | 145 | 5,8 | |
| Seminaris | 14 | 0,56 |
Aquesta assignatura té tres hores setmanals de teoria, una hora de problemes i vuit sessions de seminaris de dues hores cadascuna.
Les llistes de problemes es penjaran amb antelació a les classes, per tal que es puguin treballar prèviament. És altament recomanable que així ho facin. Els problemes no es resoldran tots a classe, i recomanem que tohom treballi pel seu compte la resta de problemes, poden preguntar als professors els dubtes que sorgeixin.
També es faran vuit sessions de seminari, on l'alumnat elaborarà i presentarà problemes de l'assignatura, amb la supervisió del professorat. Hi haurà algunes proves individualitzades sobre el contingut del seminaris.
El temps previst a la taula és aproximat i, evidentment, cada persona l'haurà d'adaptar a la seva situació. En qualsevol cas, tenint en compte que a més aquesta assignatura compta 9 crèdits, és a dir el 30% dels crèdits d'un semestre estàndard, és aconsellable una dedicació aproximada de 12 a 14 hores setmanals, incloent-hi les classes presencials.
Avaluació
Activitats d'avaluació continuada
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Avaluació dels seminaris | 20% | 1 | 0,04 | KM20, SM15, SM16, SM17 |
| Exàmen | 40% | 3 | 0,12 | KM20, SM15, SM16, SM17 |
| Exàmen | 40% | 3 | 0,12 | KM20, SM15, SM16, SM17 |
Un 20% de la nota correspon a lliurament de problemes als seminaris (S).
Un 40% de la nota, P1, correspon a l'obtinguda a un primer examen parcial, per avaluar les capacitats teòriques i pràctiques de l'assignatura.
Un 40% de la nota, P2, correspon a l'obtinguda a un segon examen parcial. En aquest examen s'avaluaran els coneixements teòrics i pràctics de l'assignatura.
La nota final de l'assignatura s'obtindrà de la fórmula N=0,2·S + 0,4·P1 + 0,4·P2. L'assignatura quedarà aprovada si la nota N és igual o superior a 5.
Les matrícules d'honor s'atorgaran en funció del valor de la nota N.
Qui hagi tret una nota N<5 es podrà presentar a un examen de repesca. Si denotem la nota obtinguda d'aquest prova per R, i N'=0,2·P+0,8·R és superior o igual que 5, la nota obtinguda a l'assignatura serà de 5. Si N'<5, llavors la nota obtinguda serà el màxim entre N i N'.
En l'opció d'avaluació única, es farà un examen el mateix dia que el segon parcial que constarà de dues parts, cadascuna corresponen a cada parcial; a més, i, durant el mateix dia si és possible, es farà una prova (escrita o oral) corresponent als seminaris. Per la repesca, si fos necessària, en l'opció d'avaluació única, es farà un examen com la resta de la classe.
Bibliografia
[1] R. Antoine, R. Camps, J. Moncasi. Introducció a l'àlgebra abstracta. Manuals de la UAB, Servei de Publicacions de la UAB, no. 46, Bellaterra, 2007.
[2] F. Cedó, V. Gisin, Àlgebra bàsica, Manuals de la UAB, Servei de Publicacions de la UAB, no. 21, Bellaterra, 2007.
[3] David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd. Edition, Wiley, 2003.
[4] J.B. Fraleigh. A First course in abstract algebra. Pearson Education, 7th Edition, 2014. Review: https://www.maa.org/press/maa-reviews/abstract-algebra
[5] T. W. Hungerford, Abstract Algebra, Brooks/Cole, 2013. Review: https://www.maa.org/press/maa-reviews/abstract-algebra-an-introduction
Programari
Es podrà utilitzar el Sagemath i els programes que du incorporats com el GAP per a fer càlculs en la major part de l'assignatura. A més s'introduirà el llenguatge lean4 per a mostrar algunes demostracions senzilles de grups.
Grups i idiomes de l'assignatura
La informació proporcionada és provisional fins al 30 de novembre. A partir d'aquesta data, podreu consultar l'idioma de cada grup a través d'aquest enllaç. Per accedir a la informació, caldrà introduir el CODI de l'assignatura
| Tipus de docència | Grup | Idioma | Semestre | Torn |
|---|---|---|---|---|
| (TE) Teoria | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (PAUL) Pràctiques d'aula | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (SEM) Seminaris | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (PAUL) Pràctiques d'aula | 2 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (SEM) Seminaris | 2 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |