Guia en format PDF
Logo

Càlcul en una Variable

Codi: 104382
Crèdits: 6
2026/2027
Titulació Tipus Curs
Matemàtica Computacional i Analítica de Dades FB 1

Professor/a de contacte

Nom :
Alberto Dayan
Correu electrònic :
alberto.dayan@uab.cat

Equip docent

Jaume Capdevila Jové
Ángel Lorenzo Martínez

Idiomes dels grups

Podeu consultar aquesta informació al final del document.

Prerequisits

Encara que no hi ha prerequisits oficials és recomanable que els estudiants tinguin consolidats els coneixements pròpis del Càlcul que s'imparteixen a Batxillerat: límíts, continuïtat i derivabilitat de funcions reals d'una variable real, nocions de càlcul integral i de trigonometria. Així com la representació gràfica de funcions relativament senzilles d'una variable. El requisit més important és, però, una gran curiositat per entendre i aprofundir en els conceptes que s'estudiaran durant el curs.

Objectius

Resoldre els problemes matemàtics que es poden plantejar en Matemàtica Computacional i Analítica de Dades.
 
Entendre el concepte de successions i el càlcul de límits.
 
Conèixer i treballar de manera intuïtiva, geomètrica i formal les nocions de límit, continuïtat, derivada i integral.
 
Entendre i saber fer desenvolupaments de Taylor de funcions d'una variable real.
 
Adquirir nocions bàsiques de sèries numèriques i de potències.
 
Conèixer la construcció de la integral, el càlcul d'integrals i la seva aplicació a la resolució de problemes on sigui necessari el plantejament d'integrals. Integrals impròpies.

 

 

 

 

Resultats d'aprenentatge

  • CM01 (Treballar de forma intuïtiva, geomètrica i formal amb les nocions de límit, derivada i integral.) Treballar de forma intuïtiva, geomètrica i formal amb les nocions de límit, derivada i integral.
  • CM03 (Contrastar l’ús del càlcul amb l’ús de l’abstracció pròpia de l’àlgebra i l’anàlisi per a resoldre un problema real.) Contrastar l’ús del càlcul amb l’ús de l’abstracció pròpia de l’àlgebra i l’anàlisi per a resoldre un problema real.
  • CM04 (Explicar idees i conceptes de la matemàtica fonamental, comunicant a tercers els raonaments propis.) Explicar idees i conceptes de la matemàtica fonamental, comunicant a tercers els raonaments propis.
  • KM01 (Identificar les idees essencials de les demostracions d’alguns teoremes bàsics d’àlgebra i càlcul.) Identificar les idees essencials de les demostracions d’alguns teoremes bàsics d’àlgebra i càlcul.
  • SM01 (Redactar de forma ordenada i amb precisió petits textos matemàtics (exercicis, resolució de qüestions de teoria, etc.).) Redactar de forma ordenada i amb precisió petits textos matemàtics (exercicis, resolució de qüestions de teoria, etc.).
  • SM02 (Manipular desigualtats, successions de nombres i derivades i integrals de funcions en una variable i diverses.) Manipular desigualtats, successions de nombres i derivades i integrals de funcions en una variable i diverses.

Continguts

1. Successions de nombres reals.



  • Límit d'una successió i propietats algebraiques.


  • Successions monòtones.


  • Punts d'acumulació. Successions parcials.


  • Teorema de Bolzano-Weierstrass.


  • Successions de Cauchy.


  • Càlcul de límits.



2. Funcions reals.



  • Domini d'una funció.


  • Funcions elementals.


  • Límit d'una funció en un punt. Límits laterals. Propietats dels límits. Asímptotes. Càlcul de límits de funcions.


  • Continuïtat d'una funció.


  • Teorema de Bolzano.


  • Teorema del valor mitjà i Teorema de Weierstrass.



3.Derivació.



  • Derivada d'una funció en un punt.


  • Càlcul d'algunes derivades.


  • Recta tangent.


  • Regla de la Cadena. Derivada de la funció inversa. Derivació logarítmica.


  • Extrems absoluts i relatius d'una funció.


  • Teorema de Rolle. Teorema del valor mitjà.


  • Regla de l'Hôpital.


  • Infinitèsim. Càlcul de límits amb infinitèsims.


  • Mètode de Newton per la resolució numèrica d'equacions.



4. Aproximació per polinomis de Taylor.



  • Ordre de contacte entre funcions.


  • Polinomi de Taylor. Propietats.

  • Fórmula de Taylor. Residu de Taylor.


  • Càlculs aproximats. Aplicació al càlcul de límits.


  • Estudi local de funcions.



5. Integració.



  • Primitives d'una funció.


  • Integrals immediates. Integrals per canvi de variable. Integrals per parts.


  • Integració de funcions racionals. Integració de funcions irracionals.


  • Teorema fonamental del càlcul.


  • Aplicacions de la integració: càlcul d'àrees planes, càlcul de la longitud d'una corba, càlcul d'àrees i volums de revolució.


  • Integrals impròpies. Criteris de convergència. Convergència absoluta.



6. Sèries numèriques i de potències.



  • Sèries numèriques. Condició necessària de convergència.


  • Criteris de : comparació, quocient, arrel, integral.


  • Sèries alternades. Convergència absoluta.


  • Sèries de potències.


  • Radi de convergència.


  • Derivació i integració de sèries de potències.





Activitats formatives i Metodologia

Títol Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Classes de problemes i de pràctiques 22 0,88 CM01, CM04, SM01, SM02
Tutories 16 0,64 CM03, CM04, KM01, SM01, SM02
Treball personal 70 2,8 CM01, KM01, SM01, SM02
Classes teòriques 27 1,08 CM01, CM03, CM04, KM01
Preparació pels exàmens 15 0,6 CM01, CM03, CM04, KM01

Les classes de teoria i problemes no són distingibles, de manera que anirem alternant-les segons necessitats del temari i dels estudiants. En principi, el professor de teoria donarà les idees principals sobre els diversos temes. L'alumne haurà de resoldre els problemes proposats.

Els professors de problemes i de pràctiques resoldran els dubtes que se'ls plantegin i proposaran mètodes de resolució tant mitjançant ordinadors com analítics. Al llarg del semestre l'alumne haurà de resoldre i entregar problemes. Aquests lliuraments formaran part de l'avaluació continuada de l'assignatura.


L'ús de la IA està permès només durant aquelles activitats que no es valoren. L'ús de la IA durant els exàmens està estrictament prohibit i es considerarà un intent de fer frau.



Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, perquè l'alumnat completi les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura.

Avaluació

Activitats d'avaluació continuada

Títol Pes Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Examen parcial 1 40% 0 0 CM01, CM03, CM04, KM01, SM01, SM02
Prova de pràctiques 20% 0 0 CM03, KM01, SM01
Examen parcial 2 40% 0 0 CM01, CM03, CM04, KM01, SM01, SM02

Durant el semestre, farem un primer examen parcial, un segon examen parcial i activitats amb Sage.


Al final del semestre hi haurà un examen de recuperació, on podreu tornar a fer un o tots dos parcials, si cal. La nota de l'examen de recuperació substituirà la nota obtinguda prèviament. La part amb Sage no es pot recuperar.


La nota final serà la mitjana ponderada de la nota de la primera prova parcial (40 %), la de la segona prova parcial (40 %) i les activitats pràctiques amb Sage (20 %). Per aprovar l'assignatura, aquesta mitjana ha de ser superior o igual a 5, i la nota de cada examen parcial ha de ser superior o igual a 2,5.


Els estudiants que optin per l'avaluació única faran un sol examen el dia de la segona prova parcial, que abasta tot el pla d'estudis. Aquest examen representarà el 80 % de la nota final. El 20 % restant provindrà d'una activitat pràctica amb Sage.




Bibliografia

1.S.L. Salas, E. Hille. 'Calculus' Vol. 1, Ed. Reverté, 2002.

2.Bartle, R.G., Shebert, D.R. (1996) Introducción al Análisis Matemático de una variable. 2a ed. Limusa. ISBN: 978-968-18-5191-0.

3.Ortega Aramburu, J.M. (2002). Introducció a l’Anàlisi Matemàtica. 2a ed. Manuals de la Universitat Autònoma de Barcelona.

4. Zill, D.G., Wright, W.S. (2011). Cálculo de una variable. 4a edició. McGrawHill. ISBN: 978-607-15-0501-9.

Programari

Les pràctiques d'ordinador d'aquesta assignatura es faran amb SageMath.

Grups i idiomes de l'assignatura

La informació proporcionada és provisional fins al 30 de novembre. A partir d'aquesta data, podreu consultar l'idioma de cada grup a través d'aquest enllaç. Per accedir a la informació, caldrà introduir el CODI de l'assignatura

Tipus de docència Grup Idioma Semestre Torn
(TE) Teoria 1 Espanyol primer quadrimestre matí-mixt
(PLAB) Pràctiques de laboratori 1 Català primer quadrimestre matí-mixt
(SEM) Seminaris 1 Català primer quadrimestre matí-mixt