Guia en format PDF
Logo

Topologia de Varietats

Codi: 100114
Crèdits: 6
2026/2027
Titulació Tipus Curs
Matemàtiques OP 4

Professor/a de contacte

Nom :
Natalia Castellana Vila
Correu electrònic :
natalia.castellana@uab.cat

Equip docent

Gabriel Martínez De Cestafe Pumares
Natalia Castellana Vila

Idiomes dels grups

Podeu consultar aquesta informació al final del document.

Prerequisits

El prerequisits per cursar aquesta assignatura optativa són les assignatures de primer i segon curs del Grau de Matemàtiques i també l'assignatura Topologia de tercer curs. És recomanable haver cursat l'assignatura de Geometria Diferencial.

Objectius

Les varietats topològiques són uns espais topològics presents a molts àmbits. En aquest curs introduïm els invariants algebraics més bàsics que podem associar a un espai topològic (en particular a una varietat) i que ens proporcionen una primera aproximació a les propietats globals d'aquests objectes. Farem especial èmfasis al grup fonamental, als grups d'homologia i les àlgebres de cohomologia, així com a les propietats d'orientabilitat.


Resultats d'aprenentatge

  1. Utilitzar eficaçment bibliografia i recursos electrònics per obtenir informació.
  2. Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
  3. Desenvolupar un pensament i un raonament crític i saber comunicar-ho de manera efectiva, tant en les llengües pròpies com en una tercera llengua
  4. Que els estudiants tinguin la capacitat de reunir i interpretar dades rellevants (normalment dins de la seva àrea d'estudi) per emetre judicis que incloguin una reflexió sobre temes rellevants d'índole social, científica o ètica.
  5. Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
  6. Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
  7. Generar propostes innovadores i competitives en la recerca i en l'activitat professional.
  8. Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
  9. Aplicar l'esperit crític i el rigor per validar o refutar arguments tant propis com de d'altres.
  10. Comprendre el llenguatge abstracte i conèixer demostracions rigoroses d'alguns teoremes de geometria i topologia avançades.
  11. Idear demostracions de resultats matemàtics de l'àrea de geometria i topologia.

Continguts

El curs tractarà els temes de la llista següent.

  • Definició i exemples d'homotopia d'aplicacions.
  • Espais topològics homòtopament equivalents..
  • Varietats topològiques. Exemples.
  • Grup fonamental i espais recobridors.
  • Complexos de cadenes.
  • Homologia i la classificació de superfícies compactes connexes.
  • Homologia i orientabilitat.


A més, aquests temes permetran obtenir el resultats remarcables següents:

  • Cohomologia.
  • Teorema del punt fix de Brouwer.
  • Teorema de separació de Jordan-Brouwer.
  • Invariància topològica de la dimensió d'una varietat.


Activitats formatives i Metodologia

Títol Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Classes de problèmes 15 0,6 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9
Classes de teoria 30 1,2 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9
Resolució de problèmes 30 1,2 2, 5, 10, 11
Seminaris 6 0,24 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9
Asimilació dels conceptes, arguments i resultats teòrics 45 1,8 1, 2, 5, 7
Preparació i exposició de treballs 15 0,6 1, 2, 3, 5, 9, 10

En les classes de teoria s'exposen el conceptes, arguments i resultats bàsics de l'assignatura, on s'espera que els alumnes siguin part activa de les discussions que es generen a l'aula. En un treball més autònom per part dels alumnes, es complementa amb sessions de problemes, seminaris i exposicions orals participatives dels alumnes on s'aprofundeix en el temari de l'assignatura i s'assoleixen els coneixements i les capacitats per utilitzar aquests materials en lectures o estudis de temes propers o més avançats.

Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, perquè l'alumnat completi les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura.

Avaluació

Activitats d'avaluació continuada

Títol Pes Hores ECTS Resultats d'aprenentatge
Participació activa en sessions de seminari 25% 4 0,16 1, 2, 3, 6, 8, 9, 10, 11
Exàmen 45% 4 0,16 1, 3, 4, 6, 8, 10, 11
Presentació oral, tipus P. 30% 1 0,04 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

La nota final es la mitjana ponderada de les notes següents:

  • exposicions a les sessions de seminaris (30%),
  • examen (40%)
  • el·laboració d'un treball sobre un tema proposat (30%)


Per a poder fer mitjana, és necessari obtenir un 3.5/10 com a mínim de cada activitat d'avaluació. En cas de no superar el curs, hi haurà reavaluació de l'exàmen i del treball. Les matrícules d'honor es decidiran en primera convocatòria.

Les proves per a l'avaluació única es realitzaran en un dia en que es presentin els treballs de final de curs. La prova consistirà en l'evaluació oral d'una entrega d'exercicis prèviament assignats, un examen i la presentació del treball.

Bibliografia

Bàsica:

  • W. Fulton, Algebraic topology. A first course. Graduate Texts in Mathematics, 153. Springer-Verlag, New York, 1995.
  • A. Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. (http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html)
  • J. M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, , Graduate Texts in Mathematics 202, Springer-Verlag, New York, 2011.

Complementària:

  • L. W. Tu, An introduction to manifolds. Universitext. Springer, New York, second edition, 2011.
  • R. Bott and L.W. Tu, Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, NewYork-Berlin, 198

Recursos lliures online

  • Clara Löh, Algebraic Topology, https://loeh.app.uni-regensburg.de/teaching/topologie1_ws2122/lecture_notes.pdf
  • Emily Riehl, Categorical homotopy theory, https://math.jhu.edu/~eriehl/cathtpy/

Programari

No s'utilitzarà programari específic en aquesta assignatura.

Grups i idiomes de l'assignatura

La informació proporcionada és provisional fins al 30 de novembre. A partir d'aquesta data, podreu consultar l'idioma de cada grup a través d'aquest enllaç. Per accedir a la informació, caldrà introduir el CODI de l'assignatura

Tipus de docència Grup Idioma Semestre Torn
(TE) Teoria 1 Català primer quadrimestre matí-mixt
(PAUL) Pràctiques d'aula 1 Català/Castellà primer quadrimestre matí-mixt
(SEM) Seminaris 1 Català/Castellà primer quadrimestre tarda