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Análisis Real y Funcional

Código: 100110
Créditos: 6
2026/2027
Titulación Tipo Curso
Matemáticas OP 4

Profesor/a de contacto

Nombre :
Joan Orobitg Huguet
Correo electrónico :
joan.orobitg@uab.cat

Idiomas de los grupos

Puede consultar esta información al final del documento.

Prerrequisitos

Todos los cursos anteriores de Cálculo y Análisis Matemàtico.

También es importante un buen conocimiento de Álgebra Lineal y de Topología básica.

Objetivos

Explicar los conceptos y resultados fundamentales de la teoría de la medida (ejemplo, integral de Lebesgue).


Presentar los métodos del análisis funcional, en el contexto de los espacios de Banach y Hilbert.

Resultados de aprendizaje

  1. Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
  2. Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
  3. Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
  4. Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
  5. Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
  6. Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
  7. Generar propuestas innovadoras y competitivas en la investigación y en la actividad profesional.
  8. Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
  9. Manejar con soltura los espacios de Hilbert más importantes y saber aplicar, en ellos, la teoría básica del Análisis Funcional.
  10. Entender el concepto de medida en R^n y su proceso de construcción.
  11. Comprender el lenguaje y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas de análisis matemático avanzado.
  12. Asimilar la definición de objetos matemáticos nuevos, de relacionarlos con otros conocidos y de deducir sus propiedades.
  13. Comprender la naturaleza de la integral de Lebesgue y sus ventajas frente a la integral de Riemann.
  14. Formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmar o rehusar estas conjeturas.
  15. Idear demostraciones de resultados matemáticos del área de análisis matemático.

Contenidos


El curso consta de 3 bloques:


Teoría de la Medida, Espacios de Banach y Espacios de Hilbert.


1. Limitaciones de la integral de Riemann.

2. Medida de Lebesgue. Teoría abstracta de la medida.

3. Integral de Lebesgue. Teoría abstracta de la integral. Límite vs integral.

4. Teorema Fundamental del Cálculo. Teorema del cambio de variable. Teorema de Fubini-Tonelli.

5. Integrales dependientes de un parámetro. Derivación bajo signo integral.

6. Espacios normados. Espacios de Banach. Caracterizaciones.

7. Espacios de sucesiones. Espacios de funciones. Espacios de medidas.

8. Operadores lineales acotados. Norma de un operador. La topología de los operadores lineales acotados.

9. Aplicaciones: la ecuación integral de Volterra.

10. Teoremas de la aplicación abierta y la gráfica cerrada. Principio de acotación uniforme.

11. Dual topológico de un espacio normado. Teorema de Hahn-Banach.

12. Espacios de Hilbert. Teorema de la proyección. Ortogonalidad.

13. Bases hilbertianes. Desigualdad de Bessel. Identidad de Parseval.

14. Series de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue.

15. Operadores compactos. Problema de Sturm-Liouville.

Actividades formativas y Metodología

Título Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Classes de teoría 30 1,2 1, 2, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
Estudio personal 92 3,68 2, 3, 5, 6
Clases de problemas 14 0,56 1, 2, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
Seminarios 6 0,24 1, 2, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

Esta asignatura tiene 2 horas de teoría y 1 de problemas por semana.

También consta de un total de 6 horas de seminarios a lo largo del curso.

Aunque no es obligatoria, sí es muy recomendable la asistencia a clase para hacer preguntas y aventurar respuestas, aunque sean incorrectas.

 
Teoría: desarrollaremos los resultados principales y los pondremos en el contexto de las futuras aplicaciones.

Problemas: los alumnos recibirá unas listas de ejercicios que resolveremos en las clases de problemas.

Seminarios: servirán para complementar los contenidos de teoría y problemas.

 
Los alumnos también dispondrán de unas horas de consulta en el despacho del profesor, para consultar dudas, discutir sobre métodos, etc.

Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.

Evaluación

Actividades de evaluación continuada

Título Peso Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Entrega de ejercicios 10% 2 0,08 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
Bloque 2. Espacios de Banach 30% 2 0,08 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
Bloque1. Teoría de la medida 30% 2 0,08 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
Bloque 3. Espacios de Hilbert 30% 2 0,08 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

Durante el curso realizaremos una actividad de evaluación (dos horas) para cada bloque. Consistirá en la resolución de ejercicios y/o en presentar la demostración de algún resultado, de una lista establecida antes de la evaluación.


Bloque 1. Teoría de la Medida (30%) Todos los estudiantes que realicen este examen ya no podrán ser calificados como NO EVALUABLE. Aquel estudiante que no haya realizado este examen constará como NO EVALUABLE a efectos académicos y no tendrá derecho a recuperarlo (excepto por causa debidamente justificada, en cuyo caso se permitirá realizar el examen de recuperación).

Bloque 2. Espacios de Banach (30%) Aquel estudiante que no haya realizado este examen no tendrá derecho a recuperarlo (excepto por causa debidamente justificada, en cuyo caso se permitirá realizar el examen de recuperación).

Bloque 3. Espacios de Hilbert (30%) Aquel estudiante que no haya realizado este examen no tendrá derecho a recuperarlo (excepto por causa debidamente justificada, en cuyo caso se permitirá realizar el examen de recuperación).


La entrega de ejercicios resueltos, a medida que el profesor lo vaya indicando, complementa (10%) la evaluación de curso.


El día señalado por la Coordinación del Grado como Examen Final (o recuperación), los alumnos que no hayan superado la asignatura realizarán un examen de recuperación con toda la materia del curso. La puntuación máxima que puede obtenerse en este examen de recuperación es de 7. TODOS LOS CONTENIDOS DE LA ASIGNATURA SON EVALUABLES (TEORIA, PROBLEMAS, SEMINARIOS). Para cada actividad de evaluación, se indicará un lugar, fecha y hora de revisión en la que el alumnado podrá revisar la actividad con el profesorado. En este contexto, se podrán realizar reclamaciones sobre la nota de la actividad, que serán evaluadas por el profesorado responsable de la asignatura. El alumnado que no se presente a esta revisión no podrá revisar posteriormente esta actividad.


EVALUACIÓN ÚNICA: El alumnado que se haya acogido a la modalidad de evaluación única deberá realizar una prueba final que consistirá en un examen de teoría donde deberá desarrollar un tema y/o responder a una serie de cuestiones cortas. Seguidamente deberá realizar una prueba de problemas/prácticas donde deberá resolver una serie de ejercicios similares a los que se han trabajado en las sesiones de Prácticas/Problemas de Aula. La calificación será la media ponderada de las dos actividades anteriores, donde el examen de teoría supondrá el 30% de la nota y el examen de problemas/prácticas el 70%. Si la nota final no alcanza 5, el alumnado suspendido tiene otra oportunidad de superar la asignatura mediante el examen de recuperación que se celebrará en la fecha que fije la coordinación de la titulación. Para poder presentarse a la recuperación será necesario haber obtenido una calificación mínima de 3,5. La puntuación máxima que puede obtenerse en este examen de recuperación es de 7. La revisión de la calificación final sigue el mismo procedimiento que para la evaluación continua. La metodología docente y la evaluación propuestas pueden experimentar alguna modificación en función de las restricciones a la presencialidad que impongan las autoridades sanitarias.


«La realización de cualquier irregularidad en un acto de evaluación (fraude académico, plagio o uso indebido de la IA, salvo que este uso esté autorizado expresamente a la guía docente), que pueda conducir a una variación significativa de la calificación, supone que este acto se calificará con un 0. En caso de que la guía docente prevea que para superar la asignatura sea requisito produzcan diversas irregularidades en los actos de evaluación de una misma asignatura, la calificación final de esta asignatura es 0. Al margen de ello, se podrá instruir un proceso disciplinario al estudiante que incurra en alguna de estas irregularidades.»


Esta versión castellana de la guía es traducción de la versión en catalán, en caso de haber alguna discrepancia entre ambas, la versión correcta a todos los efectos es la catalana.

Bibliografía

J. Bruna, Anàlisi Real, UAB Servei de Publicacions, 1996.

J.M. Burgués, Integració i càlcul vectorial, UAB Servei de Publicacions, segona edició, 2002.

J. L. Cerdà Martín, Análisis Real, Col·lecció UB 23, segona edició, 2000.

J. L. Cerdà Martín, Introducció a l'Anàlisi Funcional, Textos Docents 280, Publicacions i edicions UB, 2005.

Walter Rudin, Functional analysis, Alambra,1979.

Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 1987, tercera edició.

Software

No usaremos ningún software especializado

Grupos e idiomas de la asignatura

La información proporcionada es provisional hasta el 30 de noviembre. A partir de esta fecha, podrá consultar el idioma de cada grupo a través de este enlace. Para acceder a la información, será necesario introducir el CÓDIGO de la asignatura

Tipo de docencia Grupo Idioma Semestre Turno
(TE) Teoría 1 Catalán primer cuatrimestre manaña-mixto
(PAUL) Prácticas de aula 1 Catalán primer cuatrimestre manaña-mixto
(SEM) Seminarios 1 Catalán primer cuatrimestre tarde