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Topología

Código: 100106
Créditos: 6
2026/2027
Titulación Tipo Curso
Matemáticas OB 2

Profesor/a de contacto

Nombre :
Carlos Broto Blanco
Correo electrónico :
carles.broto@uab.cat

Equipo docente

Michael Janou Glaeser Santamaría

Idiomas de los grupos

Puede consultar esta información al final del documento.

Prerrequisitos

Es extraordinariamente importante que el alumnado haya asimilado, antes de iniciar el curso, los fundamentos básicos de lo que es el razonamiento matemático deductivo. Hay que tener experiencia en el método axiomático, conocer los principios más básicos de la lógica matemática, conviene estar familiarizado con lo que es un razonamiento matemático correcto y lo que no lo es, con los diversos paradigmas de la demostración matemática. Es necesario estar habilitado en la negación de una proposición, en el uso de los cuantificadores y en la idea de implicación. También es importante el dominio del concepto de contionuidad de las asignaturas de cálculo.

Objetivos

El objetivo principal del curso consiste en entender, interiorizar y dominar el concepto de topología que es una abstracción que permite utilizar la noción de continuidad con mucha flexibilidad. Concretamente, introducimos los conceptos de espacio topológico y de aplicación continua, como generalización de la noción de continuidad a un ambiente desprovisto de métrica y adquirimos la necesaria fluidez con el vocabulario y maquinaria básica de la topología. Observamos ejemplos que aparecen en diferentes áreas y situaciones con la idea de adquirir la capacidad de aplicar estas ideas en nuevas situaciones. Se desarrollarán las nociones y propiedades básicas de separación, conexión y compacidad. Por último, introduciremos la noción de variedad topológica y la clasificación de las superficies compactas como objetivo final.

Resultados de aprendizaje

  • CM28 (Evaluar las propiedades topológicas y métricas para distinguir las distintas superficies.) Evaluar las propiedades topológicas y métricas para distinguir las distintas superficies.
  • CM30 (Comunicar a un público especializado y no especializado resultados avanzados del ámbito de la topología y de la geometría.) Comunicar a un público especializado y no especializado resultados avanzados del ámbito de la topología y de la geometría.
  • KM35 (Enunciar los axiomas de la topología general.) Enunciar los axiomas de la topología general.
  • SM37 (Aplicar los conceptos básicos asociados a las nociones de espacio métrico y espacio topológico en la resolución de problemas de álgebra y de análisis.) Aplicar los conceptos básicos asociados a las nociones de espacio métrico y espacio topológico en la resolución de problemas de álgebra y de análisis.
  • SM38 (Discriminar entre las propiedades intrínsecas y extrínsecas de una superficie en el espacio.) Discriminar entre las propiedades intrínsecas y extrínsecas de una superficie en el espacio.

Contenidos

  1. Propiedades topológicas de los espacios métricos.
  2. Axiomática de espacio topológico.
  3. Subespacios topológicos. La topología producto. La topología cociente.
  4. Espacios Hausdorff: axiomas de separabilidad.
  5. Espacios compactos.
  6. Conexión, conexión por caminos.
  7. Propiedades locales
  8. El teorema de clasificación de les superficies compactas.

Actividades formativas y Metodología

Título Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Tiempo de estudio personal 85 3,4 CM28, CM30, KM35, SM37, SM38
Clases de problemas 14 0,56 CM28, CM30, KM35, SM37, SM38
Clases de teoria 30 1,2 CM28, CM30, KM35, SM37, SM38
Seminarios 6 0,24 CM28, CM30, KM35, SM37, SM38

Las clases de teoría se destinan al desarrollo de los conceptos, ejemplos y resultados propios de la asignatura. Las clases de problemas y seminarios están dedicadas a la resolución de ejercicios y, especialmente en el caso de los seminarios, a profundizar en cuestiones paralelas o complementarias.


Es inherente al programa y se dará mucha importancia a la correcta generación de razonamientos, la detección de razonamientos incorrectos y la capacidad de comunicar estos razonamientos utilizando de forma rigurosa el lenguaje matemático.


Debe tenerse en cuenta que la adquisición de los conocimientos y las competencias propias de la asignatura no se pueden completar sin la dedicación autónoma e individual a las horas reservadas al efecto.


Se utilizará el Campus Virtual como medio de comunicación. En el CV se publicarán los apuntes del curso, las listas de ejercicios y todos los materiales docentes que se utilicen.

Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.

Evaluación

Actividades de evaluación continuada

Título Peso Horas ECTS Resultados de aprendizaje
Examen Final 50% 3 0,12 CM28, CM30, KM35, SM37, SM38
Examen parcial 30% 3 0,12 CM28, CM30, KM35, SM37, SM38
Exámen de recuperación 80% 3 0,12 CM28, CM30, KM35, SM37, SM38
Evaluación de seminarios 20% 6 0,24 CM28, CM30, KM35, SM37, SM38

Existen dos pruebas escritas: un examen parcial a mitad del semestre (30% de la nota final) y un examen final (50% de la nota final). Esto se completa con una evaluación específica de la actividad desarrollada en los seminarios, que contará con un 20% de la nota final. La asistencia a los seminarios es obligatoria.


Es necesario obtener un mínimo de 3,5 puntos sobre 10 en el examen final para aprobar la asignatura. Sólo quien no haya superado la asignatura con el examen final puede acudir al examen de recuperación. En este examen se recuperan los exámenes parcial y final. Si no habiendo alcanzado el mínimo de 3,5 en el examen final, una persona no se presenta a la recuperación, la nota de curso será el mínimo entre 4,5 y la media ponderada de las actividades de evaluación a que se ha presentado.


Quien no haya completado actividades de evaluación que sumen un mínimo del 50% de peso de la nota final tendrá la consideración de no evaluable.


En esta asignatura, no se permite el uso de tecnologías de Inteligencia Artificial (IA) en ninguna de sus fases.


Evaluación única. El alumnado que se haya acogido en la modalidad de evaluación única deberá realizar una prueba escrita el día del examen final. Seguidamente deberá realizar una prueba oral de resolución de un problema y de comentario sobre uno de los seminarios elegidos por el profesorado. Además, entregará las soluciones redactadas de los 3 seminarios al inicio de la prueba escrita. La calificación del estudiante será la media ponderada de las dos actividades anteriores, en las que el examen de teoría supondrá el 80% de la nota y el examen oral un 20%. Si la nota final no alcanza 5, el estudiante tiene otra oportunidad de superar la asignatura mediante el examen de recuperación que tendrá un peso de 80% de la nota final; la prueba oral no es recuperable.

Bibliografía

Bibliogafia básica:

  • Jaume Aguadé, Apunts d'un curs de topologia elemental. http://mat.uab.es/~aguade/teaching.html
  • Czes Kosniowski, A first course in algebraic topology. Cambridge University Press 1980.

Bibliografia superfícies compactas:

  • William S. Massey, A basic course in algebraic topology. Springer-Verlag 1991.
  • John M. Lee, Introduction to topological manifolds, Graduate Text in Mathematics 202, Springer, 2011
  • Vicenç Navarro, Pere Pascual, Topologia Algebraica, Universitat de Barcelona, 1999

Bibliografia más completa:

  • James Munkres, General Topology, Prentice-Hall, 2000.
  • Rysarzd Engelking, General Topology, Sigma Series in Pure Mathematics 6, Heldermann Verlag, 1989.
  • James Dugundji, Topology, Reprinting of the 1966 original. Allyn and Bacon Series in Advanced Mathematics. Allyn and Bacon, Inc., Boston. 1978.

Recursos libres online:

  • Marta Macho-Stadler, Topología, https://www.ehu.eus/~mtwmastm/Topologia1415.pdf
  • Jesper Moller, General Topology, http://web.math.ku.dk/~moller/e03/3gt/notes/gtnotes.pdf
  • O. Viro, O Ivanov, N. Netsvetaev, V. Kharlamov, Elementary Topology Problem Textbook,
  • http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/eng-book-nopfs.pdf


Software

Esta asignatura no hace uso de software obligatorio.

Grupos e idiomas de la asignatura

La información proporcionada es provisional hasta el 30 de noviembre. A partir de esta fecha, podrá consultar el idioma de cada grupo a través de este enlace. Para acceder a la información, será necesario introducir el CÓDIGO de la asignatura

Tipo de docencia Grupo Idioma Semestre Turno
(TE) Teoría 1 Catalán primer cuatrimestre manaña-mixto
(PAUL) Prácticas de aula 1 Catalán primer cuatrimestre manaña-mixto
(SEM) Seminarios 1 Español primer cuatrimestre manaña-mixto
(TE) Teoría 2 Catalán segundo cuatrimestre manaña-mixto
(PAUL) Prácticas de aula 2 Catalán primer cuatrimestre manaña-mixto
(SEM) Seminarios 2 Español primer cuatrimestre manaña-mixto
(PAUL) Prácticas de aula 3 Español segundo cuatrimestre manaña-mixto
(SEM) Seminarios 3 Español segundo cuatrimestre manaña-mixto
(PAUL) Prácticas de aula 4 Español segundo cuatrimestre manaña-mixto
(SEM) Seminarios 4 Español segundo cuatrimestre manaña-mixto