Topología de Variedades
Código: 100114 Créditos ECTS: 6| Titulación | Tipo | Curso |
|---|---|---|
| Matemáticas | OT | 4 |
Contacto
- Nombre:
- Natalia Castellana Vila
- Correo electrónico:
- natalia.castellana@uab.cat
Equipo docente
- Natalia Castellana Vila
Idiomas de los grupos
Puede consultar esta información al final del documento.
Prerrequisitos
Los prerrequisitos son las asignaturas de primer y segundo curso del Grado de Matemáticas y la Topología de tercer curso. Es recomendable haber cursado la asignatura de Geometría Diferencial.
Objetivos y contextualización
En este curso introducimos a los invariantes algebraicos más básicos que podemos asociar a un espacio topológico (en particular a una variedad) y que nos proporcionan una primera aproximación a las propiedades globales de estos objetos. Con especial énfasis en el grupo fundamental, en los grupos de homología y las álgebras de cohomología.
Competencias
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Demostrar una elevada capacidad de abstracción.
- Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
- Formular hipótesis e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas.
- Generar propuestas innovadoras y competitivas en la investigación y en la actividad profesional.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
Resultados de aprendizaje
- Aplicar el espíritu crítico y el rigor para validar o refutar argumentos tanto propios como de otros.
- Comprender el lenguaje abstracto y conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas de geometría y topología avanzadas.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupación por la calidad en el momento de argumentar o hacer públicas las conclusiones de sus trabajos.
- Desarrollar un pensamiento y un razonamiento crítico y saber comunicarlo de manera efectiva, tanto en las lenguas propias como en una tercera lengua.
- Generar propuestas innovadoras y competitivas en la investigación y en la actividad profesional.
- Idear demostraciones de resultados matemáticos del área de geometría y topología.
- Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
- Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
- Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
- Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
- Utilizar eficazmente bibliografía y recursos electrónicos para obtener información.
Contenido
El curso tratará los temas de la siguiente lista.
- Definición y ejemplos de homotopía de aplicaciones y espacios.
- Variedades topológicas y diferenciables.
- Complejos de cadenas.
- Homología y cohomología.
- Orientabilidad
- Grupo fundamental y espacios recubridores.
Además, estos temas permitirán obtener los siguientes resultados remarcables:
- Clasificación de superficies compactas conexas.
- Teorema del punto fijo de Brouwer.
- Teorema de separación de Jordan-Brouwer.
- Invariancia topológica de la dimensión de una variedad.
Actividades formativas y Metodología
| Título | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|
| Tipo: Dirigidas | |||
| Clases de problemas | 15 | 0,6 | 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10 |
| Clases de teoría | 30 | 1,2 | 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10 |
| Tipo: Supervisadas | |||
| Seminarios | 6 | 0,24 | 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10 |
| Tipo: Autónomas | |||
| Asimilación de conceptos, argumentos y resultados teóricos | 45 | 1,8 | 5, 7, 9, 11 |
| Preparación y exposición de trabajos | 15 | 0,6 | 1, 2, 4, 7, 9, 11 |
| Resolución de problemas | 30 | 1,2 | 2, 6, 7, 9 |
Clases donde se exponen concepton, argumentos y resultados básicos de la assignatura. Ello se complementa con sesiones de problemas, seminarios y exposiciones orales paricipativas de los alumnos, donde de profundiza en el temario de la asignatura y se logran los conocimientos y las capacidades para utilizar estos materiales en lecturas y estudios de temas cercanos o más avanzados.
Nota: se reservarán 15 minutos de una clase dentro del calendario establecido por el centro o por la titulación para que el alumnado rellene las encuestas de evaluación de la actuación del profesorado y de evaluación de la asignatura o módulo.
Evaluación
Actividades de evaluación continuada
| Título | Peso | Horas | ECTS | Resultados de aprendizaje |
|---|---|---|---|---|
| Entrega de problemas | 30% | 4 | 0,16 | 2, 4, 6, 7, 8, 11 |
| Exámen | 40% | 4 | 0,16 | 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11 |
| Presentación oral, tipo P. | 30% | 1 | 0,04 | 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11 |
La nota final es la media ponderada de las notas siguientes:
- problemas entregados (30%),
- examen (40%)
- elaboracón de un trabajo sobre un tema propuesto (30%)
Para poder hacer media, se requiere un 3.5 de noata mínima de cada actividad de evaluación. En caso de no superar el curso, habrá una reevaluación del examen i del trabajo. las matrículas de honor se deciden en primera convocatòria.
Las pruebas para la evaluación única se realizarán en un día en el que se presenten los trabajos de final de curso. La prueba consistirá en la entrega de ejercicios previamente asignados, un examen y la presentación del trabajo.
Esta versión se ha traducido del catalàn con la mejor intención posible. Se utilizará la versión en catalàn para dirimir cualquier diferencia de interpretación entre las versiones, si las hubiese.
Bibliografía
Básica:
- W. Fulton, Algebraic topology. A first course. Graduate Texts in Mathematics, 153. Springer-Verlag, New York, 1995.
- A. Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. (http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html)
- J. M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, , Graduate Texts in Mathematics 202, Springer-Verlag, New York, 2011.
Complementaria:
- L. W. Tu, An introduction to manifolds. Universitext. Springer, New York, second edition, 2011.
- R. Bott and L.W. Tu, Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, NewYork-Berlin, 1982.
Recursos de libre acceso online:
- Clara Löh, Algebraic Topology, https://loeh.app.uni-regensburg.de/teaching/topologie1_ws2122/lecture_notes.pdf
- Emily Riehl, Categorical homotopy theory, https://math.jhu.edu/~eriehl/cathtpy/
Software
No se utiliza software específico.
Grupos e idiomas de la asignatura
La información proporcionada es provisional hasta el 30 de noviembre de 2025. A partir de esta fecha, podrá consultar el idioma de cada grupo a través de este enlace. Para acceder a la información, será necesario introducir el CÓDIGO de la asignatura
| Nombre | Grupo | Idioma | Semestre | Turno |
|---|---|---|---|---|
| (PAUL) Prácticas de aula | 1 | Catalán/Español | primer cuatrimestre | manaña-mixto |
| (SEM) Seminarios | 1 | Catalán/Español | primer cuatrimestre | tarde |
| (TE) Teoría | 1 | Catalán | primer cuatrimestre | manaña-mixto |