Estructures algebràiques
Codi: 100096 Crèdits: 9| Titulació | Tipus | Curs |
|---|---|---|
| 2500149 Matemàtiques | OB | 2 |
Professor/a de contacte
- Nom:
- Francesc Xavier Xarles Ribas
- Correu electrònic:
- xavier.xarles@uab.cat
Equip docent
- Francisco Perera Domenech
- Marc Masdeu Sabate
- Guillem Quingles Daví
Idiomes dels grups
Podeu consultar aquesta informació al final del document.
Prerequisits
Els requisits acadèmics previs són els continguts de les assignatures Fonaments de les Matemàtiques i Àlgebra Lineal, de primer curs.
Són especialment importants el coneixement de les operacions en l'aritmètica, en els grups de permutacions i de les matrius en general, a més dels anells de polinomis i dels espais vectorials com a model d'estructura algebraica.
Objectius
Els objectius d'aquesta assignatura són de dos tipus: assolir formació en àlgebra bàsica i assolir coneixements i destreses per a manipular objectes abstractes.
Entre els objectius de caràcter formatiu destaquem els següents: entendre i utilitzar correctament el llenguatge i el raonament matemàtic, en general, i algebraic, en particular. Ser capaç de fer petites demostracions, desenvolupar el sentit crític davant les afirmacions matemàtiques, desenvolupar actituds combatives i la creativitat davant els problemes i, finalment, aprendre a aplicar els conceptes i resultats abstractes en exemples concrets. Presentar un raonament o un problema en públic i desenvolupar agilitat per respondre qüestions matemàtiques en una conversa.
Competències
- Assimilar la definició d'objectes matemàtics nous, de relacionar-los amb altres coneguts i de deduir les seves propietats
- Comprendre i utilitzar el llenguatge matemàtic
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Identificar les idees essencials de les demostracions d'alguns teoremes bàsics i saber-les adaptar per obtenir altres resultats
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocació d'una forma professional i posseeixin les competències que solen demostrar-se per mitjà de l'elaboració i defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
Resultats d'aprenentatge
- Calcular el màxim comú divisor i la factorització de nombres enters i polinomis.
- Construir grups i anells quocient i cossos finits i operar en ells.
- Demostrar de forma activa una elevada preocupació per la qualitat en el moment d'argumentar o exposar les conclusions dels seus treballs
- Operar en alguns grups senzills (com a cíclics, dièdrics, simètrics i abelians).
- Que els estudiants hagin demostrat posseir i comprendre coneixements en un àrea d'estudi que parteix de la base de l'educació secundària general, i se sol trobar a un nivell que, si bé es recolza en llibres de text avançats, inclou també alguns aspectes que impliquen coneixements procedents de l'avantguarda del seu camp d'estudi.
- Que els estudiants hagin desenvolupat les habilitats d'aprenentatge necessàries per a emprendre estudis posteriors amb un alt grau d'autonomia.
- Que els estudiants puguin transmetre información idees, problemes i solucions a un públic tan especialitzat com no especialitzat
- Que els estudiants sàpiguen aplicar els seus coneixements al seu treball o vocació d'una forma professional i posseeixin les competències que solen demostrar-se per mitjà de l'elaboració i defensa d'arguments i la resolució de problemes dins de la seva àrea d'estudi.
Continguts
L'assignatura està organitzada en quatre blocs, essencialment corresponents als diferents tipus d'estructures que volem estudiar:
I. Teoria de Grups.
- Grups, subgrups i homomorfismes. Exemples bàsics.
- Acció d'un grup sobre un conjunt.
- Classes laterals. El Teorema de Lagrange.
- Subgrups normals, grup quocient.
- Teoremes d'isomorfisme.
- Classificació dels grups cíclics.
- Grups abelians finits.
- Teoremes de Sylow.
II. Anells commutatius
- Anells, ideals i homomorfismes. Exemples bàsics.
- L'anell de polinomis
- Quocients i teoremes d'isomorfisme.
- Ideals maximals i ideals primers.
- Cos de fraccions d'un domini.
III. Factorització.
- Dominis d'ideals principals.
- Dominis de factorització única.
- Lemma de Gauss. Factorització en anells de polinomis.
IV. Cossos finits.
- Cossos, subcossos i característica.
- Existència i unicitat de cossos finits.
Activitats formatives i Metodologia
| Títol | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|
| Tipus: Dirigides | |||
| Classes de problemes | 16 | 0,64 | |
| Classes de teoria | 43 | 1,72 | |
| Tipus: Supervisades | |||
| Seminaris | 14 | 0,56 | |
| Tipus: Autònomes | |||
| Estudi personal i preparació dels seminaris | 145 | 5,8 |
Aquesta assignatura té tres hores setmanals de teoria, una hora de problemes i vuit sessions de seminaris de dues hores cadascuna.
Les llistes de problemes es penjaran amb antelació a les classes, per tal que els alumnes puguin pensar-los prèviament. És altament recomanable que així ho facin. Els problemes no es resoldran tots a classe, i recomanem que cadascú treballi pel seu compte la resta de problemes, poden preguntar als professors els dubtes que sorgeixin.
També es faran vuit sessions de seminari, on els alumnes elaboraran i presentaran problemes de l'assignatura, amb la supervisió del professorat. Durant alguns d'aquests seminaris es farà una prova individualitzada sobre el contingut del seminari.
El temps previst a la taula és aproximat i, evidentment, cada estudiant l'haurà d'adaptar a la seva situació. En qualsevol cas, tenint en compte que a més aquesta assignatura compta 9 crèdits, és a dir el 30% dels crèdits d'un semestre estàndard, és aconsellable una dedicació aproximada de 12 a 14 hores setmanals, incloent-hi les classes presencials.
Nota: es reservaran 15 minuts d'una classe, dins del calendari establert pel centre/titulació, per a la complementació per part de l'alumnat de les enquestes d'avaluació de l'actuació del professorat i d'avaluació de l'assignatura/mòdul.
Avaluació
Activitats d'avaluació continuada
| Títol | Pes | Hores | ECTS | Resultats d'aprenentatge |
|---|---|---|---|---|
| Activitats d'avaluació continuada | 20% | 1 | 0,04 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 |
| Exàmens | 80% | 6 | 0,24 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 |
Un 20% de la nota correspon a lliurament de problemes als seminaris (S).
Un 40% de la nota, P1, correspon a l'obtinguda a un primer examen parcial, per avaluar les capacitats teòriques i pràctiques de l'assignatura.
Un 40% de la nota, P2, correspon a l'obtinguda a un segon examen parcial. En aquest examen s'avaluaran els coneixements teòrics i pràctics de l'assignatura.
La nota final de l'assignatura s'obtindrà de la fórmula N=0,2·S + 0,4·P1 + 0,4·P2. L'assignatura quedarà aprovada si la nota N és igual o superior a 5.
Les matrícules d'honor s'atorgaran en funció del valor de la nota N.
Qui hagi tret una nota N<5 es podrà presentar a un examen de repesca. Si denotem la nota obtinguda d'aquest prova per R, i N'=0,2·P+0,8·R és superior o igual que 5, la nota obtinguda a l'assignatura serà de 5. Si N'<5, llavors la nota obtinguda serà el màxim entre N i N'.
En l'opció d'avaluació única, es farà un examen el mateix dia que el segon parcial que constarà de dues parts, cadascuna corresponen a cada parcial; a més, i, durant el mateix dia si és possible, es farà una prova (escrita o oral) corresponent als seminaris. Per la repesca, si fos necessària, en l'opció d'avaluació única, es farà un examen com la resta de la classe.
Bibliografia
[1] R. Antoine, R. Camps, J. Moncasi. Introducció a l'àlgebra abstracta. Manuals de la UAB, Servei de Publicacions de la UAB, no. 46, Bellaterra, 2007.
[2] F. Cedó, V. Gisin, Àlgebra bàsica, Manuals de la UAB, Servei de Publicacions de la UAB, no. 21, Bellaterra, 2007.
[3] David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd. Edition, Wiley, 2003.
[4] J.B. Fraleigh. A First course in abstract algebra. Pearson Education, 7th Edition, 2014. Review: https://www.maa.org/press/maa-reviews/abstract-algebra
[5] T. W. Hungerford, Abstract Algebra, Brooks/Cole, 2013. Review: https://www.maa.org/press/maa-reviews/abstract-algebra-an-introduction
Programari
Es pot utilitzar el Sagemath i els programes que du incorporats com el GAP per a fer càlculs en la major part de l'assignatura.
Llista d'idiomes
| Nom | Grup | Idioma | Semestre | Torn |
|---|---|---|---|---|
| (PAUL) Pràctiques d'aula | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (PAUL) Pràctiques d'aula | 2 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (SEM) Seminaris | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (SEM) Seminaris | 2 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |
| (TE) Teoria | 1 | Català | segon quadrimestre | matí-mixt |